वृत्त — गणित मंजरी कक्षा 9 अध्याय 5 सम्पूर्ण हल

← अध्याय 4                    अध्याय 6 →

गणित मंजरी कक्षा 9 — अध्याय 5
ऊपर-नीचे, गोल-गोल — I'm Up and Down, and Round and Round — वृत्त की संपूर्ण यात्रा
प्रकृति में वृत्त, परिभाषाएं, जीवा, कोण, प्रमेय और चक्रीय चतुर्भुज का विस्तृत अध्ययन

5.0 प्रकृति में वृत्त — आकृतियों से मोह

मानवता हमेशा से अपने चारों ओर की आकृतियों से मोहित रही है। कुछ प्रारंभिक गुफा चित्रों में सूर्य को एक वृत्त के रूप में दर्शाया गया है। ओडिशा के गुडाहांडी की गुफा चित्रकारी में त्रिभुज, वर्ग, वृत्त और अंडाकार जैसी अनेक ज्यामितीय आकृतियां दिखाई देती हैं।

जब वर्षा की बूंदें पानी पर गिरती हैं तो वृत्त बनते हैं। पौधे के तने की अनुप्रस्थ काट और सूरजमुखी का पुष्पगुच्छ भी वृत्ताकार होता है। पूर्णिमा का चंद्रमा और सूर्य भी वृत्ताकार दिखते हैं।

गतिविधि: प्रकृति से वृत्त खोजें — प्रकृति में ऐसी वस्तुओं की सूची बनाइए जो वृत्त के समान हैं। उदाहरण: फलों का अनुप्रस्थ काट, पेड़ के तने की कटाई, तालाब में पत्थर फेंकने पर बनने वाली तरंगें।

5.1 परिभाषाएं — वृत्त को समझना

जब हम वृत्त, त्रिभुज और वर्ग जैसी गणितीय आकृतियों की बात करते हैं, तो हम हमेशा मान लेते हैं कि आकृतियां कागज के एक टुकड़े पर खींची गई हैं — एक द्विविमीय समतल।

वृत्त की परिभाषा: वृत्त समतल पर उन सभी बिंदुओं का समुच्चय है जो उस समतल पर स्थित एक निश्चित बिंदु से समान दूरी पर हों। वह निश्चित बिंदु वृत्त का केंद्र कहलाता है। केंद्र से वृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु तक की दूरी वृत्त की त्रिज्या कहलाती है।

विचार करें: जमुना के पास एक वृत्ताकार कागज का टुकड़ा है। वह इसके केंद्र को ज्ञात करने का प्रयास कर रही है। अमीना उसे एक सुझाव देती है। वह निर्देशों का पालन करती है और यह पाकर रोमांचित हो जाती है कि यह काम करता है। क्या आप अनुमान लगा सकते हैं कि अमीना ने उसे क्या बताया?

मुख्य शब्दावली

जीवा (Chord): वृत्त पर स्थित दो बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड जीवा कहलाता है। BC एक जीवा है।

व्यास (Diameter): वृत्त के केंद्र से होकर गुजरने वाली जीवा व्यास कहलाती है। व्यास वृत्त की सबसे लंबी जीवा होती है।

केंद्र पर अंतरित कोण: जीवा BC द्वारा केंद्र A पर बनाया गया कोण BAC, जीवा द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण कहलाता है।

चाप (Arc): वृत्त का एक संबद्ध भाग चाप कहलाता है। इसे दो बिंदुओं द्वारा परिभाषित किया जाता है जिन्हें चाप के अंत बिंदु कहा जाता है।

5.2 वृत्त की सममितियां

वृत्त को इतना आकर्षक बनाने वाली चीज यह है कि वे पूरी तरह से सममित होते हैं। मान लीजिए आप किसी वाहन के पहिये को देख रहे हैं। आप पहिये के एक बिंदु को जमीन को छूते हुए देखते हैं। कुछ समय बाद जब आप फिर से पहिये को देखते हैं, तो आप फिर से एक बिंदु को जमीन को छूते हुए देखते हैं। क्या आप बता सकते हैं कि दोनों बिंदु एक ही बिंदु हैं? कोई रास्ता नहीं है जिससे आप बता सकें। घूमता हुआ पहिया हर समय एक जैसा दिखता है!

घूर्णन सममिति: वृत्त को किसी भी कोण से घुमाइए और यह बिल्कुल वैसा ही दिखता है। हम कहते हैं कि वृत्त में पूर्ण घूर्णन सममिति है।
परावर्तन सममिति: सभी व्यास परावर्तन सममिति की रेखाएं हैं।

कागज पर एक वृत्त बनाइए और वृत्त के साथ काटिए। वृत्ताकार कागज को इस प्रकार मोड़िए कि सीमाएं ओवरलैप हों, फिर इसे खोलिए। आप एक मोड़ देखते हैं — यह वृत्त की परावर्तन सममिति की रेखा है। क्या यह रेखा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है? हां, गुजरती है। यह वृत्त का व्यास है।

5.3 कितने वृत्त संभव हैं?

अब जब हमने एक वृत्त को परिभाषित कर लिया है और इसके कुछ गुणों की सूची बना ली है, तो आइए यह प्रश्न पूछें: समतल पर दिए गए दो बिंदु A और B से होकर कितने वृत्त गुजरते हैं?

यदि कोई वृत्त A और B से होकर गुजरता है, तो उसका एक केंद्र होगा, मान लीजिए O। लंबाई OA और OB बराबर हैं। क्या इस गुण वाला कोई अन्य बिंदु है? हां, रेखाखंड AB का मध्य बिंदु। मध्य बिंदु को केंद्र मानकर, A और B से गुजरने वाला एक वृत्त खींचा जा सकता है।

महत्वपूर्ण तथ्य: A और B से होकर गुजरने वाले सभी वृत्तों के केंद्र AB के लंब समद्विभाजक पर स्थित होते हैं। लंब समद्विभाजक पर स्थित प्रत्येक बिंदु A और B से समदूरस्थ होता है, और A और B से समदूरस्थ प्रत्येक बिंदु लंब समद्विभाजक पर है!

तीन बिंदुओं से वृत्त

अब हम पूछते हैं: समतल पर तीन भिन्न बिंदु A, B और C से होकर कितने वृत्त खींचे जा सकते हैं? क्या हमेशा कम से कम एक ऐसा वृत्त होता है? आवश्यक नहीं! यदि A, B और C एक सीधी रेखा पर स्थित हों, अर्थात संरेखी हों तो? क्या आप समझा सकते हैं कि ऐसी स्थिति में A, B और C से होकर कोई वृत्त क्यों नहीं गुजरता?

प्रमेय 1: तीन असंरेखी बिंदुओं से एक अद्वितीय वृत्त
कथन: तीन असंरेखी बिंदुओं से होकर एक और केवल एक वृत्त गुजरता है।
प्रमाण: माना A, B और C तीन असंरेखी बिंदु हैं। यदि कोई वृत्त इन तीनों से गुजरता है, तो उसका एक केंद्र O होगा। चूंकि OA = OB, इसलिए O, AB के लंब समद्विभाजक पर होगा। चूंकि OA = OC, इसलिए O, AC के लंब समद्विभाजक पर भी होगा। परंतु A, B और C असंरेखी हैं, इसलिए AB और AC के लंब समद्विभाजक एक अद्वितीय बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगे — वही बिंदु O है। O को केंद्र मानकर और OA के बराबर त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचा जा सकता है जो A, B और C से होकर गुजरेगा।

परिवृत्त और परिकेंद्र: त्रिभुज ABC के शीर्षों से गुजरने वाले वृत्त का केंद्र O, त्रिभुज ABC का परिकेंद्र कहलाता है। यह वृत्त परिवृत्त कहलाता है। त्रिभुज वृत्त में अंतर्निहित कहलाता है।

त्रिभुज के प्रकार और परिकेंद्र की स्थिति —
न्यून कोण त्रिभुज: परिकेंद्र त्रिभुज के अंदर होता है।
अधिक कोण त्रिभुज: परिकेंद्र त्रिभुज के बाहर होता है।
समकोण त्रिभुज: परिकेंद्र कर्ण के मध्य बिंदु पर होता है।

अभ्यास 5.1

प्रश्न 1: त्रिभुज ABC खींचिए जिसमें AB = 5 सेमी, कोण A = 70° और कोण B = 60° हो। त्रिभुज ABC का परिवृत्त खींचिए। क्या केंद्र त्रिभुज के अंदर है या बाहर?
हल: AB, BC और CA के लंब समद्विभाजक खींचिए। तीनों एक बिंदु O पर मिलेंगे। O को केंद्र मानकर OA के बराबर त्रिज्या से वृत्त खींचिए। चूंकि कोण A = 70° और कोण B = 60°, इसलिए कोण C = 50° होगा। सभी कोण 90° से कम हैं, इसलिए यह न्यूनकोण त्रिभुज है। परिकेंद्र त्रिभुज के अंदर होगा।

प्रश्न 4: दो बिंदु A और B से गुजरने वाले वृत्त की न्यूनतम संभव त्रिज्या क्या है?
हल: जब AB व्यास हो तो त्रिज्या न्यूनतम होगी। न्यूनतम त्रिज्या = AB/2

5.4 जीवाएं और उनके द्वारा अंतरित कोण

एक पहिये पर दो बिंदुओं पर एक धागा बांधिए और इसे कसिए। धागे को जीवा के रूप में सोचा जा सकता है। धागे के सिरों को केंद्र से मिलाने की कल्पना कीजिए। धागा केंद्र पर एक कोण अंतरित करता है। अब पहिये को घुमाइए। धागा केंद्र के चारों ओर पहिये के साथ घूमता है।

प्रमेय 2: समान जीवाएं केंद्र पर समान कोण अंतरित करती हैं
दिया है: AB = DE (दोनों एक ही वृत्त की जीवाएं हैं)
सिद्ध करना है: कोण ACB = कोण DCE
प्रमाण: CA = CB = r (वृत्त की त्रिज्या)। इसी प्रकार CD = CE = r। दिया है AB = DE। SSS सर्वांगसमता से, त्रिभुज CAB त्रिभुज CDE के सर्वांगसम है। इसलिए कोण ACB = कोण DCE।

प्रमेय 3: केंद्र पर समान कोण अंतरित करने वाली जीवाएं बराबर होती हैं
दिया है: कोण ACB = कोण DCE
सिद्ध करना है: AB = ED
प्रमाण: AC = BC = वृत्त की त्रिज्या। इसी प्रकार EC = DC = त्रिज्या। चूंकि कोण ACB = कोण DCE (दिया है), SAS सर्वांगसमता से त्रिभुज ACB त्रिभुज DCE के सर्वांगसम है। इसलिए AB = ED।

5.5 जीवाओं के मध्य बिंदु और लंब समद्विभाजक

अब हम जीवाओं के और गुणों का अध्ययन करेंगे। यदि हम वृत्त के केंद्र से जीवा के मध्य बिंदु तक एक रेखाखंड खींचें तो क्या हमें कुछ विशेष मिलता है? यदि हम किसी जीवा का लंब समद्विभाजक खींचें तो क्या यह किसी विशेष बिंदु से होकर गुजरता है?

प्रमेय 4: केंद्र और जीवा के मध्य बिंदु को मिलाने वाली रेखा जीवा पर लंब होती है
दिया है: AB एक जीवा है, M इसका मध्य बिंदु है, C वृत्त का केंद्र है।
सिद्ध करना है: CM, AB पर लंब है।
प्रमाण: त्रिभुज CAB एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें CA = CB। इसलिए कोण A = कोण B। M, AB का मध्य बिंदु है, इसलिए AM = BM। SAS सर्वांगसमता से त्रिभुज CMA त्रिभुज CMB के सर्वांगसम है। इसलिए कोण CMB = कोण CMA। परंतु कोण CMB + कोण CMA = 180° (एक रेखा पर कोण)। अतः दोनों कोण 90° हैं। इसलिए CM, AB पर लंब है।

प्रमेय 5: केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है
यह प्रमेय 4 का विलोम है। यदि कोण CMA = कोण CMB = 90°, तो सिद्ध करना है कि AM = BM।

5.6 केंद्र से जीवाओं की दूरी

एक कागज का वृत्त लीजिए। वृत्त को सीमा से अंदर की ओर मोड़िए। मोड़ को खोलिए। क्रीज अब एक जीवा है। अब कागज को फिर से इस प्रकार मोड़िए कि जीवा के सिरे मिल जाएं। मोड़ को खोलिए। जिन भागों में जीवा विभाजित हुई है उनकी लंबाई मापिए। जीवा वहां समद्विभाजित होती है जहां मोड़ प्रतिच्छेद करते हैं।

प्रमेय 6: समान लंबाई की जीवाएं केंद्र से समान दूरी पर होती हैं
दिया है: AB = FG, E और H क्रमशः AB और FG के मध्य बिंदु हैं।
सिद्ध करना है: CE = CH
प्रमाण (विधि 1): त्रिभुज CAB और CFG सर्वांगसम हैं (SSS)। इसलिए समान त्रिभुजों की शीर्षलंब भी बराबर हैं। अतः CE = CH।
प्रमाण (विधि 2): त्रिभुज CEA और CHF पर विचार करें। AE = FH (चूंकि AB = FG और E, H मध्य बिंदु हैं)। कोण CEA = कोण CHF = 90°। CF = CA (दोनों त्रिज्या)। RHS सर्वांगसमता से त्रिभुज CEA त्रिभुज CHF के सर्वांगसम है। इसलिए CE = CH।

प्रमेय 7: केंद्र से समान दूरी पर स्थित जीवाएं बराबर होती हैं
यदि CE = CH और CE, CH क्रमशः AB, GH पर लंब हैं, तो AB = GF।

प्रमेय 8: दो असमान जीवाओं में से लंबी जीवा केंद्र के अधिक निकट होती है
दिया है: AB और DE दो जीवाएं हैं जिनमें AB > DE। CF और CG क्रमशः AB और DE पर लंब हैं।
सिद्ध करना है: CF < CG
प्रमाण: AC और CD दोनों त्रिज्याएं हैं, इसलिए AC = CD। बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय से, CD² = CG² + GD² और AC² = CF² + AF²। चूंकि AB > DE, इसलिए AF > GD (क्योंकि F और G मध्य बिंदु हैं)। चूंकि AF² > GD², इसलिए CF² < CG²। अतः CF < CG।

अभ्यास 5.5

प्रश्न 1: एक वृत्त की जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए जहां त्रिज्या 7 सेमी है और लंबवत दूरी 6 सेमी है।
हल: माना जीवा AB है, C केंद्र है, और M जीवा का मध्य बिंदु है। CM = 6 सेमी (लंब दूरी), CA = 7 सेमी (त्रिज्या)।
समकोण त्रिभुज CMA में: CA² = CM² + AM²
7² = 6² + AM²
49 = 36 + AM²
AM² = 13
AM = √13 सेमी
जीवा की लंबाई AB = 2 × AM = 2√13 सेमी

5.7 चाप द्वारा अंतरित कोण

वृत्त का एक चाप वृत्त का एक संबद्ध भाग है। इसे वृत्त पर दो बिंदुओं द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिन्हें चाप के अंत बिंदु कहा जाता है।

A और B वृत्त पर दो बिंदु हैं। A से B तक जाने के दो रास्ते हैं। एक बड़ा चाप है जिसे दीर्घ चाप कहते हैं, और दूसरा छोटा चाप है जिसे लघु चाप कहते हैं।

केंद्र पर अंतरित कोण: चाप AB द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण से हमारा अभिप्राय कोण AOB के माप से है, जैसा कि हम चाप के साथ चलते हैं। यदि केंद्र पर कोण 180° से कम है, तो यह लघु चाप है। यदि केंद्र पर कोण 180° से अधिक है, तो यह दीर्घ चाप है।

चाप के बाहर किसी बिंदु पर अंतरित कोण

चाप AXB द्वारा वृत्त पर चाप के बाहर स्थित किसी बिंदु पर अंतरित कोण से हमारा अभिप्राय कोण ACB से है जहां C वृत्त पर कोई बिंदु है परंतु चाप AXB पर नहीं है। आश्चर्यजनक रूप से, इस कोण का माप इस पर निर्भर नहीं करता कि हम कौन सा विशिष्ट बिंदु C चुनते हैं, जब तक कि यह वृत्त पर है और चाप के बाहर है!

प्रमेय 9: चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, वृत्त पर चाप के बाहर किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है
दिया है: AFB एक चाप है। कोण ACB केंद्र C पर अंतरित कोण है। D वृत्त पर चाप AFB के बाहर एक बिंदु है।
सिद्ध करना है: कोण BCA = 2 × कोण BDA
प्रमाण: D को C से मिलाइए और DC को आगे बढ़ाकर वृत्त को बिंदु E पर काटिए। त्रिभुज DCB समद्विबाहु है (CB = CD)। इसलिए कोण CBD = कोण CDB। कोण BCE बाह्य कोण है, इसलिए कोण BCE = कोण CBD + कोण CDB = 2 × कोण BDC। इसी प्रकार कोण ACE = 2 × कोण CDA। अब कोण BCA = कोण BCE + कोण ECA = 2 × (कोण BDC + कोण CDA) = 2 × कोण BDA।

महत्वपूर्ण परिणाम: इस प्रमेय से एक बहुत ही रोचक बात निकलती है। किसी चाप AB को लीजिए। वृत्त पर चाप के बाहर कोई भी बिंदु D लीजिए। तब, D कहीं भी हो, जब तक वह चाप के बाहर और वृत्त पर है, कोण ADB समान रहता है! एक ही चाप द्वारा एक ही खंड में स्थित सभी बिंदुओं पर अंतरित कोण बराबर होते हैं।

उपप्रमेय: अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है
प्रमाण: माना AB एक व्यास है। हमें सिद्ध करना है कि कोण ADB = 90° है। A से B तक का चाप जो D को सम्मिलित नहीं करता, केंद्र C पर 180° का कोण अंतरित करता है (सरल रेखा)। इसलिए कोण ADB = (1/2) × 180° = 90°।

5.8 बिंदुओं की समवृत्तता

अब हम इस प्रश्न पर आते हैं कि 4 बिंदु एक ही वृत्त पर कब स्थित होते हैं। हम ऐसे बिंदुओं को समवृत्तीय कहते हैं।

प्रमेय 10: यदि दो बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड दो अन्य बिंदुओं पर समान कोण अंतरित करे तो चारों बिंदु एक वृत्त पर स्थित होते हैं
दिया है: AB एक रेखाखंड है। बिंदु C और D, AB के एक ही ओर स्थित हैं। कोण ACB = कोण ADB।
सिद्ध करना है: A, B, C, D एक वृत्त पर स्थित हैं।
प्रमाण: बिंदु A, B, C असंरेखी हैं, इसलिए एक वृत्त इन तीनों से होकर गुजरता है। मान लीजिए D इस वृत्त पर नहीं है। AD को आगे बढ़ाइए जो वृत्त को E पर काटे। अब C और E एक ही खंड में हैं, इसलिए कोण ACB = कोण AEB। यदि D बाहर हो तो कोण AEB, त्रिभुज BED का बाह्य कोण है, इसलिए कोण AEB > कोण ADB। परंतु कोण ACB = कोण ADB (दिया है)। यह विरोधाभास है। इसी प्रकार यदि D अंदर हो तब भी विरोधाभास मिलता है। इसलिए D वृत्त पर होना चाहिए।

चक्रीय चतुर्भुज: जब किसी चतुर्भुज के शीर्ष समवृत्तीय होते हैं, तो उस चतुर्भुज को चक्रीय चतुर्भुज कहते हैं।

प्रमेय 11: चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है
दिया है: ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसका केंद्र O है।
सिद्ध करना है: कोण BAD + कोण BCD = 180°
प्रमाण: चाप BCD पर विचार करें। बिंदु A वृत्त पर चाप BCD के बाहर है। इसलिए कोण BAD = (1/2) × प्रतिवर्त कोण BOD। इसी प्रकार कोण BCD = (1/2) × कोण BOD। इसलिए कोण BAD + कोण BCD = (1/2) × (केंद्र O पर पूर्ण कोण) = (1/2) × 360° = 180°।

प्रमेय 12: यदि किसी चतुर्भुज के दो सम्मुख कोणों का योग 180° हो तो वह चक्रीय होता है
दिया है: ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें कोण BAD + कोण BCD = 180°
सिद्ध करना है: ABCD चक्रीय है।
प्रमाण: मान लीजिए ABCD चक्रीय नहीं है। A, D, B से होकर एक वृत्त गुजरता है। माना CD इस वृत्त को E पर काटती है। तब ABED चक्रीय है, इसलिए कोण BAD + कोण BED = 180° (प्रमेय 11 से)। परंतु दिया है कि कोण BAD + कोण DCB = 180°। इसलिए कोण BCD = कोण BED। परंतु यह संभव नहीं क्योंकि कोण BED त्रिभुज BEC का बाह्य कोण है और कोण BCE से बड़ा है। इसलिए A, B, C, D सभी एक वृत्त पर स्थित होने चाहिए।

अध्याय के अंत के प्रश्न

प्रश्न 1: एक वृत्त में एक जीवा केंद्र से 5 सेमी दूर है। यदि वृत्त की त्रिज्या 13 सेमी है, तो जीवा की लंबाई क्या है?
हल: माना AB जीवा है, C केंद्र है, M मध्य बिंदु है।
CM = 5 सेमी, CA = 13 सेमी
समकोण त्रिभुज CMA में: CA² = CM² + AM²
13² = 5² + AM²
169 = 25 + AM²
AM² = 144
AM = 12 सेमी
जीवा की लंबाई = 2 × 12 = 24 सेमी

प्रश्न 2: एक वृत्त का एक चाप केंद्र पर 70° का कोण अंतरित करता है। वृत्त पर किसी बिंदु पर चाप द्वारा अंतरित कोण का माप क्या है?
हल: प्रमेय 9 से, वृत्त पर किसी बिंदु पर अंतरित कोण = (1/2) × केंद्र पर अंतरित कोण
= (1/2) × 70° = 35°

प्रश्न 7: ABCD एक वृत्त में अंतर्निहित चक्रीय चतुर्भुज है। यदि कोण A = 75° है, तो कोण C का माप क्या है? यदि कोण B = 110° है, तो कोण D का माप क्या है?
हल: चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।
कोण A + कोण C = 180°
75° + कोण C = 180°
कोण C = 105°
कोण B + कोण D = 180°
110° + कोण D = 180°
कोण D = 70°

अध्याय सारांश

• वृत्त: समतल पर उन सभी बिंदुओं का समुच्चय जो एक निश्चित बिंदु (केंद्र) से समान दूरी (त्रिज्या) पर हों।
• परावर्तन सममिति: वृत्त में किसी भी व्यास के साथ परावर्तन सममिति होती है।
• घूर्णन सममिति: वृत्त में अपने केंद्र के परितः किसी भी कोण से पूर्ण घूर्णन सममिति होती है।
• दो बिंदुओं से वृत्त: दो दिए गए बिंदुओं से अनंत वृत्त गुजर सकते हैं। इन वृत्तों के केंद्र दो बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड के लंब समद्विभाजक पर स्थित होते हैं।
• तीन असंरेखी बिंदुओं से वृत्त: तीन असंरेखी बिंदुओं से होकर एक और केवल एक वृत्त गुजरता है — परिवृत्त। इसका केंद्र परिकेंद्र कहलाता है।
• समान जीवाएं: समान लंबाई की जीवाएं केंद्र पर समान कोण अंतरित करती हैं। विलोम भी सत्य है।
• लंब समद्विभाजक: केंद्र से जीवा के मध्य बिंदु को मिलाने वाली रेखा जीवा पर लंब होती है। विलोम भी सत्य है।
• केंद्र से दूरी: समान लंबाई की जीवाएं केंद्र से समान दूरी पर होती हैं। लंबी जीवा केंद्र के अधिक निकट होती है।
• चाप और कोण: चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, वृत्त पर चाप के बाहर किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
• अर्धवृत्त में कोण: व्यास द्वारा वृत्त पर किसी बिंदु पर अंतरित कोण 90° होता है।
• समवृत्तीय बिंदु: यदि दो बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड दो अन्य बिंदुओं पर समान कोण अंतरित करे, तो चारों बिंदु समवृत्तीय होते हैं।
• चक्रीय चतुर्भुज: चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है। विलोम भी सत्य है।