बीजीय सर्वसमिकाओं की खोज — गणित मंजरी कक्षा 9 अध्याय 4 सम्पूर्ण हल

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गणित मंजरी कक्षा 9 — अध्याय 4
बीजीय सर्वसमिकाओं की खोज — पैटर्न, साक्ष्य और सूत्रों की शक्ति
सर्वसमिकाओं की कल्पना, गुणनखंड, बीजगणितीय टाइलें और परिमेय व्यंजकों का सरलीकरण

4.1 परिचय — पैटर्न से बीजगणित तक

पिछले अध्यायों में आपने रैखिक बहुपदों के बारे में सीखा और यह जाना कि उन्हें वास्तविक जीवन की समस्याओं को प्रस्तुत करने और हल करने के लिए कैसे उपयोग किया जाता है। आपने रैखिक समीकरणों का भी अध्ययन किया और पाया कि वे राशियों के बीच संबंधों का वर्णन कैसे करते हैं।

इस अध्याय में हम बीजीय सर्वसमिकाओं की खोज करके अगला कदम उठाएंगे। ये विशेष गणितीय नियम हैं जो न केवल जटिल गणनाओं को सरल बनाते हैं बल्कि बीजीय व्यंजकों के साथ कुशलतापूर्वक काम करने में भी सहायता करते हैं।

उदाहरण 1: एक रोचक पैटर्न — तीन क्रमागत वर्ग संख्याएं लीजिए। जैसे 1, 4 और 9। सबसे छोटे और सबसे बड़े वर्ग को जोड़िए: 1 + 9 = 10। अब मध्य वर्ग का दोगुना घटाइए: 10 – (2 × 4) = 10 – 8 = 2। अब 9, 16, 25 के साथ प्रयास करें: (9 + 25) – (2 × 16) = 34 – 32 = 2। 25, 36, 49 के साथ: (25 + 49) – (2 × 36) = 74 – 72 = 2। परिणाम हमेशा 2 आता है! इस पैटर्न का रहस्य जल्द ही बीजगणित से उजागर होगा।

सोचें और विचार करें: इसी तरह के अन्य पैटर्न खोजने का प्रयास करें। उदाहरण के लिए, 4 क्रमागत वर्ग संख्याओं पर विचार करें और देखें कि क्या आप कोई पैटर्न पा सकते हैं।

एक बीजीय सर्वसमिका वह समीकरण है जो इसमें आने वाले चरों के सभी मानों के लिए सत्य होती है, जबकि एक समीकरण सभी मानों के लिए सत्य नहीं होना चाहिए। उदाहरण: x² – 1 = 24 केवल x = 5 या –5 के लिए सत्य है — यह समीकरण है। परंतु (x + y)² = x² + 2xy + y² x और y के सभी मानों के लिए सत्य है — यह सर्वसमिका है।

4.2 सर्वसमिकाओं की कल्पना — ज्यामितीय मॉडल

इस खंड में हम कुछ बीजीय सर्वसमिकाओं को दोबारा देखेंगे जिन्हें हमने पिछली कक्षाओं में पढ़ा था, और ज्यामितीय मॉडलों का उपयोग करके उन्हें दृश्यात्मक रूप से समझने का प्रयास करेंगे।

(a + b)² का ज्यामितीय प्रमाण

मान लीजिए दो रेखाखंडों की लंबाई क्रमशः a और b इकाई है। इनसे (a + b) इकाई की एक लंबी रेखाखंड बनाइए। अब (a + b) भुजा का एक वर्ग खींचिए और इसे छोटे वर्गों और आयतों में विभाजित करें।

बाहरी वर्ग का क्षेत्रफल (a + b)² है। अंदर के बड़े वर्ग का क्षेत्रफल a² है और छोटे वर्ग का क्षेत्रफल b² है। दोनों आयतों का क्षेत्रफल प्रत्येक ab है। मिलकर ये बड़ा वर्ग बनाते हैं, इसलिए: (a + b)² = a² + 2ab + b²

उदाहरण 2: ऋणात्मक संख्याओं के लिए जांच — माना a = –2 और b = –3। तब (a + b) = –5 और (a + b)² = 25। साथ ही a² = 4, b² = 9 और 2ab = 12। अतः a² + 2ab + b² = 4 + 12 + 9 = 25 = (a + b)²। ✓

परिमेय संख्याओं के लिए: a = –2/3 और b = 3/4 लेने पर (a + b) = 1/12 और (a + b)² = 1/144। a² + 2ab + b² = 4/9 + 2(–2/3)(3/4) + 9/16 = 4/9 – 1 + 9/16 = (64 – 144 + 81)/144 = 1/144। ✓

वितरण गुण से: (a + b)² = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b²

सोचें और विचार करें:
1. a और b के बारे में क्या कह सकते हैं यदि (a + b)² < a² + b²?
2. a और b के बारे में क्या कह सकते हैं यदि (a + b)² > a² + b²?
3. (a + b)², a² + b² के बराबर कब होगा?
संकेत: (a + b)² = a² + b² + 2ab — यह 2ab का चिह्न है जो निर्णय करता है।

उदाहरण 3: (5x + 2y)² का विस्तार करें। यहाँ a = 5x और b = 2y।
(5x + 2y)² = (5x)² + 2(5x)(2y) + (2y)² = 25x² + 20xy + 4y²

उदाहरण 4: 43² की गणना करें।
43² = (40 + 3)² = 40² + 2 × 40 × 3 + 3² = 1600 + 240 + 9 = 1849

अभ्यास सेट 4.1

प्रश्न 1: सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² का उपयोग करके निम्नलिखित का विस्तार कीजिए:
(i) (7x + 4y)² = (7x)² + 2(7x)(4y) + (4y)² = 49x² + 56xy + 16y²
(ii) (7/5 x + 3/2 y)² = 49x²/25 + 2(7/5 x)(3/2 y) + 9y²/4 = 49x²/25 + 21xy/5 + 9y²/4
(iii) (2.5p + 1.5q)² = 6.25p² + 7.5pq + 2.25q²
(iv) (3/4 s + 8t)² = 9s²/16 + 12st + 64t²
(v) (x + 1/2y)² = x² + x/y + 1/4y²
(vi) (1/x + 1/y)² = 1/x² + 2/xy + 1/y²

प्रश्न 2: उसी सर्वसमिका का उपयोग करके मान ज्ञात कीजिए:
(i) 64² = (60 + 4)² = 3600 + 480 + 16 = 4096
(ii) 105² = (100 + 5)² = 10000 + 1000 + 25 = 11025
(iii) 205² = (200 + 5)² = 40000 + 2000 + 25 = 42025

4.3 सर्वसमिकाओं का उपयोग करके बीजीय व्यंजकों के गुणनखंड

सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² का उपयोग कुछ बीजीय व्यंजकों के गुणनखंड निकालने के लिए भी किया जा सकता है।

उदाहरण 5: x² + 4x + 4 के गुणनखंड करें।
x² = (x)², 4 = 2², 4x = 2(x)(2) → x² + 4x + 4 = x² + 2(x)(2) + 2² = (x + 2)²

उदाहरण 6: 36x² + 12x + 1 के गुणनखंड करें।
36x² + 12x + 1 = (6x)² + 2(6x)(1) + 1² = (6x + 1)²

उदाहरण 7: 50p² + 60pq + 18q² के गुणनखंड करें।
= 2(25p² + 30pq + 9q²) = 2[(5p)² + 2(5p)(3q) + (3q)²] = 2(5p + 3q)²

सोचें और विचार करें — (a – b)² की सर्वसमिका:
(a + b)² में b के स्थान पर –b रखने पर: (a – b)² = a² – 2ab + b²
अब उदाहरण 1 के पैटर्न पर वापस: तीन क्रमागत संख्याएं (n–1), n, (n+1)
(n–1)² + (n+1)² = n² – 2n + 1 + n² + 2n + 1 = 2n² + 2 → इसमें से 2n² घटाने पर = 2

उदाहरण 8: 29² = (30 – 1)² = 900 – 60 + 1 = 841

(a – b)² का ज्यामितीय दृश्य

a भुजा का एक वर्ग खींचिए और a को दो भागों में बाँटिए — (a – b) और b। तब:

(a – b)² = a² – ab – b(a – b) = a² – ab – ba + b² = a² – 2ab + b²

अभ्यास सेट 4.2

प्रश्न 1: पूर्णतः गुणनखंड कीजिए:
(i) 9x² + 24xy + 16y² = (3x)² + 2(3x)(4y) + (4y)² = (3x + 4y)²
(ii) 4s² + 20st + 25t² = (2s)² + 2(2s)(5t) + (5t)² = (2s + 5t)²
(iii) 49x² + 28xy + 4y² = (7x)² + 2(7x)(2y) + (2y)² = (7x + 2y)²
(iv) 64p² + 32/3 pq + 4/9 q² = (8p)² + 2(8p)(2q/3) + (2q/3)² = (8p + 2q/3)²

प्रश्न 2: सर्वसमिका (a – b)² का उपयोग करके मान ज्ञात कीजिए:
(i) 79² = (80 – 1)² = 6400 – 160 + 1 = 6241
(ii) 193² = (200 – 7)² = 40000 – 2800 + 49 = 37249
(iii) 299² = (300 – 1)² = 90000 – 600 + 1 = 89401

4.4 और अधिक सर्वसमिकाएं

(a + b + c)² की सर्वसमिका

b + c को d से प्रतिस्थापित करते हैं। (a + d)² = a² + 2ad + d²। d के स्थान पर (b + c) रखने पर:

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

इसे ज्यामितीय रूप से समझने के लिए (a + b + c) भुजा का एक वर्ग खींचें जिसे 9 भागों में विभाजित किया जाता है — तीन वर्ग (a², b², c²) और छह आयत (ab, bc, ca प्रत्येक दो बार)।

उदाहरण 9: 119² = (100 + 10 + 9)²
= 100² + 10² + 9² + 2(100)(10) + 2(100)(9) + 2(10)(9)
= 10000 + 100 + 81 + 2000 + 1800 + 180 = 14161

अब तक की सर्वसमिकाएं:
1. (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. (a – b)² = a² – 2ab + b²
3. (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

श्रीधराचार्य की विधि (750 CE): 55² = (55 + 5)(55 – 5) + 5² = 60 × 50 + 25 = 3000 + 25 = 3025

अभ्यास सेट 4.3

प्रश्न 1: उपयुक्त सर्वसमिका का उपयोग करके निम्नलिखित वर्ग ज्ञात कीजिए:
(i) 117² = (120 – 3)² = 14400 – 720 + 9 = 13689
(ii) 78² = (80 – 2)² = 6400 – 320 + 4 = 6084
(iii) 198² = (200 – 2)² = 40000 – 800 + 4 = 39204
(iv) 214² = (200 + 14)² = 40000 + 5600 + 196 = 45796
(v) 1104² = (1100 + 4)² = 1210000 + 8800 + 16 = 1218816
(vi) 1120² = (1000 + 100 + 20)² = 1254400

प्रश्न 2: उपयुक्त सर्वसमिकाओं का उपयोग करके गुणनखंड करें:
(i) 16y² – 24y + 9 = (4y)² – 2(4y)(3) + 3² = (4y – 3)²
(ii) 9s²/4 + 6st + 4t² = (3s/2)² + 2(3s/2)(2t) + (2t)² = (3s/2 + 2t)²
(iii) m²/9 + mk/3 + k²/4 + 3nk + 2mn + 9n² = (m/3 + k/2 + 3n)²
(iv) p²/16 – 2 + 16/p² = (p/4)² – 2(p/4)(4/p) + (4/p)² = (p/4 – 4/p)²

4.5 बीजगणितीय टाइलों का उपयोग करके गुणनखंड

मान लीजिए एक आयत की भुजाएं (x + 3) और (x + 4) इकाई हैं।
(x + 3)(x + 4) = x² + 3x + 4x + 12 = x² + 7x + 12

7x को 3x + 4x के रूप में विभाजित करने पर आयताकार व्यवस्था बनती है। आयत की भुजाएं (x + 3) और (x + 4) हैं।

सोचें और विचार करें:
1. यदि 7x को 2x + 5x के रूप में विभाजित करें — क्या समान आयताकार व्यवस्था बन सकती है?
2. x + 2 और x + 3 का गुणनफल बीजगणितीय टाइलों से ज्ञात करें।
3. x² + 11x + 30 के लिए बीजगणितीय टाइलें इस प्रकार सजाएं कि उसके गुणनखंड दिखें।
4. (x+3)(x+4) = x²+7x+12 और (x+6)(x+7) = x²+13x+42 से (x+a)(x+b) के लिए सामान्य व्यंजक प्राप्त करें।

4.6 बीजगणितीय टाइलों के बिना गुणनखंड

टाइलों के बिना 'x के पद के विभाजन' के लिए हम x² + (a+b)x + ab के रूप का उपयोग करते हैं।

उदाहरण 10: x² + 7x + 12 के गुणनखंड।
a + b = 7 और ab = 12 → a = 3 और b = 4
x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)

उदाहरण 11: x² + 11x + 30 के गुणनखंड।
a + b = 11 और ab = 30 → a = 5 और b = 6
x² + 11x + 30 = x² + 5x + 6x + 30 = x(x+5) + 6(x+5) = (x + 5)(x + 6)

उदाहरण 12: x² – 5x + 6 के गुणनखंड।
a + b = –5 और ab = 6 → a = –2 और b = –3
x² – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)

अभ्यास सेट 4.4

प्रश्न 1: रिक्त स्थान भरकर निम्नलिखित सर्वसमिकाएं पूर्ण कीजिए:
(i) s² – 11s + 24: a + b = –11, ab = 24 → a = –8, b = –3 → (s – 8)(s – 3)
(ii) 3x² – 4x – 7 = 3x² – 7x + 3x – 7 = x(3x–7) + 1(3x–7) = (3x – 7)(x + 1)
(iii) 10x² – 11x – 6 = (2x – 3)(5x + 2) ✓ [जांच: 10x² + 4x – 15x – 6 = 10x² – 11x – 6]
(iv) 6x² + 7x + 2: a+b = 7, ab = 12 → a = 3, b = 4 → 6x² + 3x + 4x + 2 = 3x(2x+1) + 2(2x+1) = (3x + 2)(2x + 1)

प्रश्न 2: उपयुक्त सर्वसमिका चुनकर सीधे गुणा किए बिना निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए:
(i) 41² = (40+1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681
(ii) 27² = (30–3)² = 900 – 180 + 9 = 729
(iii) 23 × 17 = (20+3)(20–3) = 400 – 9 = 391
(iv) 135² = (100+35)² = 10000 + 7000 + 1225 = 18225
(v) 97² = (100–3)² = 10000 – 600 + 9 = 9409
(vi) 18 × 29 = 522
(vii) 34 × 43 = (38.5–4.5)(38.5+4.5) = 38.5² – 4.5² = 1482.25 – 20.25 = 1462
(viii) 205² = (200+5)² = 40000 + 2000 + 25 = 42025

4.7 नई सर्वसमिकाओं की खोज

(a + b)³ की सर्वसमिका और घनीय दृश्य

(a + b)³ = (a + b)(a² + 2ab + b²) = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

इसे ज्यामितीय रूप से समझने के लिए (a + b) कोर वाला एक घन लें। इसे छोटे घनों और घनाभों में विभाजित किया जा सकता है: a³ (1 घन) + b³ (1 घन) + 3a²b (तीन घनाभ) + 3ab² (तीन घनाभ) = (a + b)³ ✓

(a + b)³ में b के स्थान पर –b रखने पर: (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
ध्यान दें: चार पदों में से दो धनात्मक और दो ऋणात्मक हैं, और वे एकांतर क्रम में आते हैं।

उदाहरण 13: किस घन का आयतन p³ + 6p²q + 12pq² + 8q³ है?
(a + b)³ से तुलना करें: a = p, b = 2q
= (p)³ + 3(p)²(2q) + 3(p)(2q)² + (2q)³ = (p + 2q)³ — भुजा = (p + 2q) इकाई

उदाहरण 14: 8n³ – 60n²m + 150nm² – 125m³
= (2n)³ – 3(2n)²(5m) + 3(2n)(5m)² – (5m)³ = (2n – 5m)³

x³ – y³ और x³ + y³ की सर्वसमिकाएं

(x – y)(x² + xy + y²) = x³ + x²y + xy² – x²y – xy² – y³ = x³ – y³

x³ – y³ = (x – y)(x² + xy + y²)
x³ + y³ = (x + y)(x² – xy + y²)

सोचें और विचार करें:
x² – y² = (x – y)(x + y), x³ – y³ = (x – y)(x² + xy + y²)
x⁴ – y⁴ = (x² – y²)(x² + y²) = (x – y)(x + y)(x² + y²) — हाँ, x – y गुणनखंड है!
x⁵ – y⁵ के बारे में क्या? x – y गुणनखंड होगा या नहीं?

x³ + y³ + z³ – 3xyz की सर्वसमिका

(x + y + z)(x² + y² + z² – xy – xz – yz) = x³ + y³ + z³ – 3xyz

उदाहरण 15: तीन संख्याओं का योग 10, गुणनफल 25 और वर्गों का योग 38। घनों का योग ज्ञात करें।
x+y+z = 10, xyz = 25, x²+y²+z² = 38
(x+y+z)² = x²+y²+z² + 2(xy+xz+yz) → 100 = 38 + 2(xy+xz+yz) → xy+xz+yz = 31
(10)(38 – 31) = x³+y³+z³ – 3(25) → 70 = x³+y³+z³ – 75
x³+y³+z³ = 145

4.8 परिमेय व्यंजकों का सरलीकरण

गुणनखंड की सहायता से परिमेय बीजीय व्यंजकों को सरल किया जा सकता है। अंश और हर के उभयनिष्ठ गुणनखंड काटे जाते हैं।

उदाहरण 16: (x² – 7x + 12) / (5x² + 5x – 100) को सरल करें।
अंश: x² – 7x + 12 = (x – 3)(x – 4)
हर: 5x² + 5x – 100 = 5(x – 4)(x + 5)
उभयनिष्ठ (x – 4) काटने पर = (x – 3) / [5(x + 5)]

सोचें और विचार करें: (36s² – 12st + t²) / (t² + 2ts – 48s²)
36s² – 12st + t² = (6s – t)²
t² + 2ts – 48s² = (t + 8s)(t – 6s)
= (6s – t)² / [(t + 8s)(t – 6s)] = –(6s – t) / (t + 8s)

अभ्यास सेट 4.5

प्रश्न 1: निम्नलिखित परिमेय व्यंजकों को सरल कीजिए (हर ≠ 0):
(i) (3p² – 3pq – 18q²) / (p² + 3pq – 10q²)
अंश = 3(p – 3q)(p + 2q), हर = (p + 5q)(p – 2q)
= 3(p – 3q)(p + 2q) / [(p + 5q)(p – 2q)]

(ii) (n³ – 3n²m + 3nm² – m³) / (5m² – 10mn + 5n²)
अंश = (n – m)³, हर = 5(n – m)² → = (n – m) / 5

(iv) (4y² – 20yz + 25z²) / (25z² – 4y²)
अंश = (2y – 5z)², हर = –(2y – 5z)(5z + 2y)
= –(2y – 5z) / (5z + 2y)

(vi) (p⁴ – 16) / (p² – 4p + 4)
अंश = (p – 2)(p + 2)(p² + 4), हर = (p – 2)²
= (p + 2)(p² + 4) / (p – 2)

उदाहरण 17: सायरा की पहेली — x भुजा का एक वर्ग, 8 आयताकार पट्टियां (x × 1) और 15 इकाई वर्ग (1 × 1) मिलाकर एक बड़ा आयत।
कुल क्षेत्रफल = x² + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5)
लंबाई = (x + 5) इकाई, चौड़ाई = (x + 3) इकाई

उदाहरण 18: आयताकार तालाब — चौड़ाई = लंबाई – 4, क्षेत्रफल = 96 वर्ग मीटर।
x(x – 4) = 96 → x² – 4x – 96 = 0 → (x – 12)(x + 8) = 0
x = 12 (ऋणात्मक संभव नहीं) → लंबाई = 12 मीटर, चौड़ाई = 8 मीटर

अध्याय के अंत के प्रश्न

प्रश्न 1: उपयुक्त सर्वसमिकाओं का उपयोग करके निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए:
(i) (–3x + 4)² = (4 – 3x)² = 16 – 24x + 9x² = 9x² – 24x + 16
(ii) (2s + 7)(2s – 7) = (2s)² – 7² = 4s² – 49
(iii) (p² + 1/2)(p² – 1/2) = p⁴ – 1/4 = p⁴ – 1/4
(iv) (2n + 7)(2n – 7) = 4n² – 49 = 4n² – 49
(v) (s – 2t)(s² + 2st + 4t²) = s³ – (2t)³ = s³ – 8t³
(vi) (1/2r – 4r)² = r²/4 – 4r² + 16r² = r²/4 + 12r²
(vii) (–3m + 4k – l)² = 9m² + 16k² + l² – 24mk + 6ml – 8kl
(viii) (x – y/3)³ = x³ – x²y + xy²/3 – y³/27
(ix) (7k/2 – 2m/3)³ = 343k³/8 – 49k²m/2 + 7km²/3 – 8m³/27

प्रश्न 2: उपयुक्त सर्वसमिकाओं का उपयोग करके मान ज्ञात कीजिए:
(i) 17 × 21 = (19–2)(19+2) = 361 – 4 = 357
(ii) 104 × 96 = (100+4)(100–4) = 10000 – 16 = 9984
(iii) 24 × 16 = (20+4)(20–4) = 400 – 16 = 384
(iv) 147³ = (150–3)³ = 3375000 – 202500 + 4050 – 27 = 3176523
(v) 199³ = (200–1)³ = 8000000 – 120000 + 600 – 1 = 7880599
(vi) 127³ = (130–3)³ = 2197000 – 50700 + 390 – 27 = 2146663
(vii) (–107)³ = –(100+7)³ = –1225043
(viii) (–299)³ = –(300–1)³ = –26730899

प्रश्न 3 (चुनिंदा): निम्नलिखित बीजीय व्यंजकों के गुणनखंड करें:
(i) 4y² + 1 + 1/16y² = (2y + 1/4y)² = (2y + 1/4y)²
(ii) 9m² – 1/25n² = (3m)² – (1/5n)² = (3m + 1/5n)(3m – 1/5n)
(iii) 27b³ – 1/64b³ = (3b – 1/4b)[(3b)² + (3b)(1/4b) + (1/4b)²] = (3b – 1/4b)(9b² + 3/4 + 1/16b²)
(vii) p³ + 27q³ + r³ – 9pqr = (p + 3q + r)(p² + 9q² + r² – 3pq – pr – 3qr)
(viii) 9m² – 12m + 4 = (3m)² – 2(3m)(2) + 2² = (3m – 2)²

प्रश्न 4: निम्नलिखित को सरल करें (हर ≠ 0):
(i) (4x² + 4x + 1) / (4x² – 1)
अंश = (2x + 1)², हर = (2x+1)(2x–1) → (2x + 1) / (2x – 1)

(ii) 9(3a³ – 24b³) / (9a² – 36b²)
= 3(a–2b)(a²+2ab+4b²) / [(a–2b)(a+2b)] = 3(a² + 2ab + 4b²) / (a + 2b)

(iii) (s³ + 125t³) / (s² – 2st – 35t²)
अंश = (s + 5t)(s² – 5st + 25t²), हर = (s–7t)(s+5t)
= (s² – 5st + 25t²) / (s – 7t)

प्रश्न 5: निम्नलिखित क्षेत्रफलों वाले आयतों की संभावित लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करें:
(i) 25a² – 30ab + 9b² = (5a – 3b)² → लंबाई = (5a – 3b), चौड़ाई = (5a – 3b) इकाई
(ii) 36s² – 49t² = (6s + 7t)(6s – 7t) → लंबाई = (6s + 7t), चौड़ाई = (6s – 7t) इकाई

प्रश्न 6: निम्नलिखित आयतनों वाले घनाभों की संभावित विमाएं ज्ञात करें:
(i) 6a² – 24b² = 6(a + 2b)(a – 2b) → लंबाई = 6, चौड़ाई = (a + 2b), ऊंचाई = (a – 2b) इकाई
(ii) 3ps² – 15ps + 12p = 3p(s – 1)(s – 4) → लंबाई = 3p, चौड़ाई = (s – 1), ऊंचाई = (s – 4) इकाई

प्रश्न 7: गांव का खेल का मैदान 40 मीटर भुजा का वर्ग, s मीटर चौड़ा रास्ता चारों ओर।
बाहरी भुजा = (40 + 2s), रास्ते का क्षेत्रफल = (40 + 2s)² – 40² = 160s + 4s² = 4s(40 + s) वर्ग मीटर

प्रश्न 8: एक संख्या और उसके व्युत्क्रम का योग 10/3।
x + 1/x = 10/3 → 3x² – 10x + 3 = 0 → (3x – 1)(x – 3) = 0
संख्या 3 या 1/3 है (दोनों एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं)

प्रश्न 9: आयताकार तालाब का क्षेत्रफल (2x² + 7x + 3), चौड़ाई (2x + 1) हस्त।
2x² + 7x + 3 = 2x(x+3) + 1(x+3) = (2x+1)(x+3)
लंबाई = (2x+1)(x+3) ÷ (2x+1) = (x + 3) हस्त

अध्याय सारांश

• सर्वसमिका: वह समीकरण जो इसमें आने वाले चरों के सभी मानों के लिए सत्य हो।
• ज्यामितीय दृश्यीकरण: सर्वसमिकाओं को वर्गों, आयतों, घनों और घनाभों के क्षेत्रफल/आयतन के रूप में समझा जा सकता है।
• बीजगणितीय टाइलें: द्विघात व्यंजकों के गुणनखंडन को दृश्यात्मक रूप से समझने में सहायक।
• गुणनखंडन: सर्वसमिकाओं का उपयोग बीजीय व्यंजकों के गुणनखंड निकालने के लिए किया जाता है।
• परिमेय व्यंजक: गुणनखंडन के बाद अंश और हर के उभयनिष्ठ गुणनखंडों को काटकर सरल किया जाता है।
• संख्यात्मक गणनाएं: सर्वसमिकाओं का उपयोग संख्याओं के वर्ग, घन और गुणनफल शीघ्र ज्ञात करने के लिए होता है।

इस अध्याय में अध्ययन की गई सर्वसमिकाएं:
(x + y)² = x² + 2xy + y²
(x – y)² = x² – 2xy + y²
(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx
(x + y)(x – y) = x² – y²
(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
(ax + b)(cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bd
x³ – y³ = (x – y)(x² + xy + y²)
x³ + y³ = (x + y)(x² – xy + y²)
(x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
(x – y)³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³
x³ + y³ + z³ – 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² – xy – xz – yz)