गणित मंजरी कक्षा 9 अध्याय 2 — रैखिक बहुपद: सम्पूर्ण व्याख्या एवं हल

2.1 भूमिका — बीजीय व्यंजक से बहुपद तक

बीजीय व्यंजक (Algebraic Expression) में संख्याएं, चर (Variables) और संक्रियाएं होती हैं। जब किसी व्यंजक में केवल एक चर और उसकी घातें हों तो उसे एकचरीय बहुपद (Univariate Polynomial) कहते हैं। बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात उसकी कोटि (Degree) कहलाती है।

अभ्यास 2.1 — सम्पूर्ण हल

प्रश्न 1: निम्नलिखित बहुपदों की कोटि ज्ञात करें।

(i) 2x²−5x+3 → x की सबसे बड़ी घात 2 → कोटि = 2 (द्विघात)
(ii) y³+2y−1 → y की सबसे बड़ी घात 3 → कोटि = 3 (त्रिघात)
(iii) −9 → −9x⁰ के रूप में लिखें, घात 0 → कोटि = 0 (अचर)
(iv) 4z−3 → z की घात 1 → कोटि = 1 (रैखिक)

प्रश्न 2: कोटि 1, 2 और 3 के बहुपद लिखें।
कोटि 1: 2x + 5 | कोटि 2: x² − 3x + 1 | कोटि 3: 4y³ + 2y − 7

प्रश्न 3: x⁴ − 3x³ + 6x² − 2x + 7 में x² और x³ के गुणांक क्या हैं?
x² का गुणांक = 6, x³ का गुणांक = −3

प्रश्न 4: 4z³ + 5z² − 11 में z का गुणांक क्या है?
z का पद ही नहीं है, अर्थात् 0·z → z का गुणांक = 0

प्रश्न 5: 9x³ + 5x² − 8x − 10 का अचर पद क्या है?
अचर पद = −10

2.2 रैखिक बहुपद

कोटि 1 के बहुपद को रैखिक बहुपद कहते हैं। रैखिक बहुपद का सामान्य रूप ax + b है जहां a ≠ 0 हो। रैखिक बहुपद की विशेषता है कि क्रमागत पदों का अंतर सदैव स्थिर रहता है।

उदाहरण: चेस क्लब में ₹200 प्रवेश शुल्क + ₹50 प्रति मैच → कुल राशि = 200 + 50m। यदि किसी खिलाड़ी ने ₹750 दिए तो: 200 + 50m = 750 → 50m = 550 → m = 11 मैच

अभ्यास 2.2 — सम्पूर्ण हल

प्रश्न 1: 5x − 3 का मान ज्ञात करें।
(i) x=0: 5(0)−3 = −3 | (ii) x=−1: 5(−1)−3 = −8 | (iii) x=2: 5(2)−3 = 7

प्रश्न 2: 7s²−4s+6 का मान ज्ञात करें।
(i) s=0: 0−0+6 = 6
(ii) s=−3: 7(9)−4(−3)+6 = 63+12+6 = 81
(iii) s=4: 7(16)−4(4)+6 = 112−16+6 = 102

प्रश्न 3: सलिल की माँ की उम्र सलिल की उम्र की तिगुनी है। 5 वर्ष बाद दोनों की उम्र का योग 70 होगा।
माना सलिल की उम्र = x, माँ की उम्र = 3x
(x+5) + (3x+5) = 70 → 4x + 10 = 70 → 4x = 60 → x = 15
सलिल की उम्र = 15 वर्ष, माँ की उम्र = 45 वर्ष

प्रश्न 4: दो धनात्मक पूर्णांकों का अंतर 63, अनुपात 2:5।
माना संख्याएं 2k और 5k हैं। 5k − 2k = 63 → 3k = 63 → k = 21
संख्याएं: 42 और 105
जांच: 105 − 42 = 63 ✓ | 42:105 = 2:5 ✓

प्रश्न 5: रूबी के पास 2-रुपये के सिक्के, 5-रुपये के सिक्कों से 3 गुने हैं। कुल ₹88।
माना 5-रुपये के सिक्के = x, 2-रुपये के = 3x
5x + 2(3x) = 88 → 5x + 6x = 88 → 11x = 88 → x = 8
5-रुपये के 8 सिक्के, 2-रुपये के 24 सिक्के

प्रश्न 6: 300 फुट बाड़ दो टुकड़ों में, बड़ा टुकड़ा छोटे का चार गुना।
माना छोटा = x, बड़ा = 4x → x + 4x = 300 → 5x = 300 → x = 60
छोटा = 60 फुट, बड़ा = 240 फुट

प्रश्न 7: आयत की लंबाई = 2 × चौड़ाई + 3, परिधि = 24 cm।
माना चौड़ाई = w, लंबाई = 2w+3
2(w + 2w+3) = 24 → 2(3w+3) = 24 → 6w+6 = 24 → 6w = 18 → w = 3
चौड़ाई = 3 cm, लंबाई = 9 cm

2.3 रैखिक पैटर्न की खोज

वर्गाकार टाइल्स के बढ़ते पैटर्न में Stage n पर टाइल्स की संख्या = 2n − 1। 15वें पद पर: 2(15)−1 = 29 टाइल्स। 26वें पद पर: 2(26)−1 = 51 टाइल्स। 21 टाइल्स के लिए: 2n−1=21 → n=11 (11वां पद)। 47 टाइल्स: n=24 (24वां पद)।

अभ्यास 2.3 — सम्पूर्ण हल

प्रश्न 1: छात्रा के खाते में ₹500, हर माह ₹150 पॉकेट मनी मिलती है।
n माह बाद राशि = 500 + 150n
माह 2: ₹800 | माह 3: ₹950 | माह 4: ₹1100
रैखिक व्यंजक: 500 + 150n

प्रश्न 2: 120 सदस्यों की रैली, हर घंटे 9 सदस्य छोड़ते हैं।
n घंटे बाद सदस्य = 120 − 9n
1 घंटे बाद: 111 | 2 घंटे: 102 | 3 घंटे: 93
रैखिक व्यंजक: 120 − 9n

प्रश्न 3: आयत की लंबाई 13 cm, चौड़ाई बदलती है।
(i) b=12: क्षेत्रफल = 13×12 = 156 cm²
(ii) b=10: क्षेत्रफल = 13×10 = 130 cm²
(iii) b=8: क्षेत्रफल = 13×8 = 104 cm²
रैखिक पैटर्न: क्षेत्रफल = 13b (चौड़ाई 2 cm घटने पर क्षेत्रफल 26 cm² घटता है)

प्रश्न 4: बॉक्स: l=7, b=11, ऊंचाई बदलती है।
(i) h=5: आयतन = 7×11×5 = 385 cm³
(ii) h=9: आयतन = 7×11×9 = 693 cm³
(iii) h=13: आयतन = 7×11×13 = 1001 cm³
रैखिक पैटर्न: आयतन = 77h (h में 4 बढ़ने पर आयतन 308 बढ़ता है)

प्रश्न 5: सरिता 500 पृष्ठों की किताब, रोज 20 पृष्ठ पढ़ती है।
n दिन बाद शेष पृष्ठ = 500 − 20n
15 दिन बाद: 500 − 300 = 200 पृष्ठ शेष
रैखिक पैटर्न: 500 − 20n

2.4 रैखिक वृद्धि और रैखिक ह्रास

रैखिक वृद्धि (Linear Growth) — जब कोई राशि समान अंतराल पर एक स्थिर मात्रा से बढ़े, तो धनात्मक ढाल वाली सरल रेखा बनती है।
रैखिक ह्रास (Linear Decay) — जब कोई राशि समान अंतराल पर स्थिर मात्रा से घटे, तो ऋणात्मक ढाल वाली सरल रेखा बनती है।

Think and Reflect उत्तर: 15वें दिन शेष = 100 − 5(15) = ₹25। पूरी राशि खर्च होने में: 100 − 5n = 0 → n = 20 दिन।
ऑटो रिक्शा: ₹130 के लिए: 15n−5 = 130 → 15n = 135 → n = 9 km।
15 km यात्रा का खर्च: 100 + 60(15) = ₹1000। ₹700 में: 100+60d=700 → d = 10 km।

अभ्यास 2.4 — सम्पूर्ण हल

प्रश्न 1: पौधे की ऊंचाई 1.75 फुट, हर माह 0.5 फुट बढ़ती है।
(i) 7 माह बाद: h = 1.75 + 0.5×7 = 1.75 + 3.5 = 5.25 फुट
(ii) तालिका: t=0→1.75, t=1→2.25, t=2→2.75, t=3→3.25, t=4→3.75, t=5→4.25, t=6→4.75, t=7→5.25, t=8→5.75, t=9→6.25, t=10→6.75
(iii) h = 1.75 + 0.5t — रैखिक वृद्धि क्योंकि t बढ़ने पर h में स्थिर मात्रा 0.5 जुड़ती है।

प्रश्न 2: मोबाइल ₹10,000 में खरीदा, हर साल ₹800 कम होता है।
(i) 3 साल बाद: v = 10000 − 800×3 = 10000 − 2400 = ₹7600
(ii) तालिका: t=0→10000, t=1→9200, t=2→8400, t=3→7600, t=4→6800, t=5→6000, t=6→5200, t=7→4400, t=8→3600
(iii) v = 10000 − 800t — रैखिक ह्रास क्योंकि t बढ़ने पर v में स्थिर मात्रा 800 घटती है।

प्रश्न 3: गांव की आबादी 750, हर साल 50 लोग शहर से आते हैं।
(i) 6 साल बाद: P = 750 + 50×6 = 1050
(ii) तालिका: t=0→750, t=1→800, t=2→850, ... t=10→1250
(iii) P = 750 + 50t — रैखिक वृद्धि

प्रश्न 4: रिचार्ज ₹600, हर दिन ₹15 कटता है।
(i) b(x) = 600 − 15x — रैखिक ह्रास (x बढ़ने पर b स्थिर मात्रा से घटता है)
(ii) बैलेंस खत्म: 600 − 15x = 0 → x = 40 दिन
(iii) तालिका: x=1→585, x=2→570, x=3→555, x=4→540, x=5→525, x=6→510, x=7→495, x=8→480, x=9→465, x=10→450

2.5 रैखिक संबंध

दो चरों x और y के बीच रैखिक संबंध y = ax + b के रूप में लिखा जाता है। यदि किन्हीं दो बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात हों तो दो समीकरण बनाकर a और b का मान निकाला जा सकता है।

Think and Reflect: Example 11 में y = 20x + 150 में 20 = प्रति GB दर (₹/GB) और 150 = आधार मासिक शुल्क।

अभ्यास 2.5 — सम्पूर्ण हल

प्रश्न 1: 10 मॉड्यूल → ₹400, 14 मॉड्यूल → ₹500।
10a + b = 400 और 14a + b = 500
घटाने पर: 4a = 100 → a = 25
b = 400 − 10(25) = 400 − 250 = b = 150
y = 25x + 150 (₹25 प्रति मॉड्यूल, ₹150 आधार शुल्क)

प्रश्न 2: 10 घंटे → ₹800, 15 घंटे → ₹1100।
10a + b = 800 और 15a + b = 1100
घटाने पर: 5a = 300 → a = 60
b = 800 − 600 = b = 200
y = 60x + 200 (₹60 प्रति घंटा, ₹200 मासिक शुल्क)

प्रश्न 3: °C = a·°F + b। जब °C=0, °F=32 और जब °C=100, °F=212।
0 = 32a + b → b = −32a
100 = 212a + b = 212a − 32a = 180a → a = 100/180 = 5/9
b = −32 × (5/9) = −160/9
°C = (5/9)·°F − 160/9 = (5/9)(°F − 32)

2.6 रैखिक संबंधों का आलेखन

y = ax + b को सरल रेखा के रूप में ग्राफ पर दर्शाया जाता है। दो बिंदु ज्ञात करके रेखा खींची जाती है। महत्वपूर्ण निष्कर्ष: a = ढाल (slope) — रेखा की तीव्रता। b = y-अंतःखंड (y-intercept) — रेखा y-अक्ष को जहां काटती है। समान ढाल लेकिन भिन्न y-अंतःखंड वाली रेखाएं समांतर होती हैं। Ex 13 का उत्तर: y = −2x (प्रत्येक बिंदु में y = −2x)।

अध्याय-अंत अभ्यास — सम्पूर्ण हल

प्रश्न 1: कोटि 3, x² का गुणांक −7 वाला बहुपद लिखें।
उदाहरण: x³ − 7x² + 2x + 1

प्रश्न 2:
(i) 5x²−3x+7 पर x=1: 5(1)−3(1)+7 = 5−3+7 = 9
(ii) 4t³−t²+6 पर t=a: 4a³ − a² + 6

प्रश्न 3: संख्या को 5/2 से गुणा करके 2/3 जोड़ने पर −7/12 मिलता है।
(5/2)x + 2/3 = −7/12
(5/2)x = −7/12 − 2/3 = −7/12 − 8/12 = −15/12 = −5/4
x = (−5/4) × (2/5) = −1/2

प्रश्न 4: एक धनात्मक संख्या दूसरी की 5 गुनी। दोनों में 21 जोड़ने पर एक नई संख्या दूसरी नई की दोगुनी हो जाती है।
माना छोटी = x, बड़ी = 5x
5x + 21 = 2(x + 21) → 5x + 21 = 2x + 42 → 3x = 21 → x = 7
संख्याएं: 7 और 35

प्रश्न 5: ₹800 में से हर माह ₹250 बचाते हैं।
n माह बाद: 800 + 250n
(i) 6 माह: 800 + 1500 = ₹2300
(ii) 2 साल = 24 माह: 800 + 250(24) = 800 + 6000 = ₹6800
रैखिक पैटर्न: 800 + 250n

★ प्रश्न 6: दो अंकों की संख्या के अंकों का अंतर 3। अंक पलटने पर दोनों संख्याओं का योग 143।
माना दहाई का अंक = a, इकाई का = b, तो a − b = 3
मूल संख्या = 10a + b, पलटी हुई = 10b + a
(10a+b) + (10b+a) = 143 → 11(a+b) = 143 → a+b = 13
a+b=13 और a−b=3 → a=8, b=5
संख्याएं: 85 और 58

★ प्रश्न 7: ढाल, y-अंतःखंड और y-अक्ष से कटान बिंदु।
(i) y = −3x + 4 → ढाल = −3, y-अंतःखंड = 4, बिंदु (0, 4)
(ii) 2y = 4x + 7 → y = 2x + 7/2 → ढाल = 2, y-अंतःखंड = 7/2, बिंदु (0, 3.5)
(iii) 5y = 6x − 10 → y = (6/5)x − 2 → ढाल = 6/5, y-अंतःखंड = −2, बिंदु (0, −2)
(iv) 3y = 6x − 11 → y = 2x − 11/3 → ढाल = 2, y-अंतःखंड = −11/3, बिंदु (0, −11/3)
समांतर रेखाएं: (ii) और (iv) — दोनों का ढाल 2 है।

★ प्रश्न 8: y = (9/5)(x − 273) + 32
(i) x = 313 K: y = (9/5)(313−273)+32 = (9/5)(40)+32 = 72+32 = 104 °F
(ii) y = 158 °F: 158 = (9/5)(x−273)+32 → 126 = (9/5)(x−273) → x−273 = 70 → x = 343 K

★ प्रश्न 9: कार्य = बल × दूरी → w = 3d (बल = 3 इकाई)
यह y = ax रूप की सरल रेखा है जो मूल बिंदु से गुजरती है। d=2 पर: w = 3×2 = 6 इकाई

★ प्रश्न 10: p(x) के ग्राफ से (1,5) और (3,11) गुजरते हैं।
p(x) = ax + b → a + b = 5 और 3a + b = 11
घटाने पर: 2a = 6 → a = 3, b = 2
(i) p(x) = 3x + 2
(ii) y-अक्ष पर: x=0 → p(0) = 2 → बिंदु (0, 2)
x-अक्ष पर: 3x+2=0 → x = −2/3 → बिंदु (−2/3, 0)

★ प्रश्न 11: p(x)=ax+b, q(x)=cx+d
(i) p(0)=5 → b=5
(ii) p(x)−q(x) x-अक्ष पर (3,0): p(3)−q(3)=0 → (3a+b)−(3c+d)=0
(iii) p(x)+q(x)=6x+4 → (a+c)=6 और (b+d)=4 → d=4−5=−1
p(3)=q(3): 3a+5=3c−1 → 3a−3c=−6 → a−c=−2
a+c=6 और a−c=−2 → a=2, c=4
p(x) = 2x + 5, q(x) = 4x − 1

★ प्रश्न 12: षट्भुज पैटर्न — माचिस की तीलियां।
Stage 1: 6, Stage 2: 11, Stage 3: 16 (हर बार 5 तीलियां जुड़ती हैं)
Stage 4: 21, Stage 5: 26
(iii) n वें Stage पर: 5n + 1 तीलियां
(iv) Stage 15: 5(15)+1 = 76 तीलियां
(v) 200 = 5n+1 → 5n=199 → n=39.8 — यह पूर्णांक नहीं है। अतः 200 तीलियों से कोई Stage नहीं बन सकती।

★ प्रश्न 13: p(x) बिंदु (2,3) और (6,11) से गुजरती है।
2a+b=3 और 6a+b=11 → 4a=8 → a=2, b=−1 → p(x)=2x−1
q(x) का ढाल p(x) के बराबर (समांतर) → c=2
q(4)=−1: 2(4)+d=−1 → 8+d=−1 → d=−9 → q(x)=2x−9
p(x)=0: 2x−1=0 → x=1/2 → p(x) x-अक्ष पर (1/2, 0)
q(x)=0: 2x−9=0 → x=9/2 → q(x) x-अक्ष पर (9/2, 0)

★ प्रश्न 14: f(x) = ax + a = a(x+1) रूप की सभी रेखाओं में क्या समान है?
x = −1 रखने पर: f(−1) = a(−1+1) = 0 → सभी रेखाएं बिंदु (−1, 0) से गुजरती हैं। यह एक विशेष गुण है।

अध्याय सारांश

इस अध्याय में हमने बहुपदों की कोटि, रैखिक बहुपद की पहचान, रैखिक समीकरण बनाना व हल करना, रैखिक वृद्धि और ह्रास के वास्तविक उदाहरण, और अंत में y = ax + b के ग्राफ को समझा। याद रखें: a = ढाल (रेखा की तीव्रता), b = y-अंतःखंड (रेखा y-अक्ष काटने की स्थिति), समान a लेकिन भिन्न b → समांतर रेखाएं।