गणित मंजरी कक्षा 9 अध्याय 8 — अनुक्रम और श्रेढ़ियाँ: AP, GP, फ्रैक्टल सम्पूर्ण हल

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गणित मंजरी कक्षा 9 — अध्याय 8
अगला क्या आएगा? — अनुक्रम और श्रेढ़ियों की खोज
अनुक्रम, स्पष्ट नियम, पुनरावर्ती नियम, समांतर श्रेढ़ी (AP), प्राकृत संख्याओं का योग, गुणोत्तर श्रेढ़ी (GP), फ्रैक्टल, सीएर्पिन्स्की त्रिभुज, विराहाँका–फिबोनाची अनुक्रम

इस अध्याय को कैसे पढ़ें? यह अध्याय बहुत रोचक और व्यावहारिक है। पहले 8.1 से 8.3 पढ़ें — अनुक्रम और नियम समझें। फिर AP (8.4–8.5) और GP (8.6) अलग-अलग करें। फ्रैक्टल वाला भाग मज़ेदार है — उसे भी अवश्य पढ़ें। कोई प्रश्न न समझे तो नीचे Comment में पूछें।

8.1 अनुक्रम का परिचय (Introduction to Sequences)

हमारे चारों ओर प्रकृति में, कला में, संगीत में, वित्त में और जीवन के अनेक प्रसंगों में प्रतिरूप (Patterns) दिखाई देते हैं। गणित में, अनुक्रम (Sequences) संख्याओं या वस्तुओं के ऐसे विशेष प्रतिरूप हैं जो एक निश्चित क्रम में सजे होते हैं।

परिचित अनुक्रम:
1, 2, 3, 4, 5, 6, … — प्राकृत संख्याएं (Natural Numbers)
1, 3, 5, 7, 9, 11, … — विषम संख्याएं (Odd Numbers)
1, 3, 6, 10, 15, 21, … — त्रिभुजीय संख्याएं (Triangular Numbers)
1, 4, 9, 16, 25, 36, … — वर्ग संख्याएं (Square Numbers)

तीन बिंदु … यह दर्शाते हैं कि अनुक्रम अनंत तक जारी रहता है। अनुक्रम (Sequence) संख्याओं की एक क्रमबद्ध सूची है जिसमें प्रत्येक संख्या अनुक्रम का एक पद (Term) कहलाती है।

सोचें और विचार करें: क्या आप ऊपर के प्रत्येक अनुक्रम में प्रतिरूप बता सकते हैं? वर्ग संख्याओं के अनुक्रम 1, 4, 9, 16, 25, 36 … में 1 पहला पद है, 4 दूसरा पद है, 25 पाँचवाँ पद है। अनुक्रम परिमित (Finite) या अनंत (Infinite) दोनों हो सकते हैं। जैसे 6, 12, 24, 48, 96 — यह 5 पदों वाला परिमित अनुक्रम है।

त्रिभुजीय संख्याएं और वर्ग संख्याएं — गहरी समझ

त्रिभुजीय संख्याओं का विश्लेषण: अनुक्रम 1, 3, 6, 10, 15, 21, … में क्रमिक पदों के बीच का अंतर है: 2, 3, 4, 5, 6
• 1 = 1
• 3 = 1 + 2
• 6 = 1 + 2 + 3
• 10 = 1 + 2 + 3 + 4
• 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

वर्ग संख्याओं का विश्लेषण: 1, 4, 9, 16, 25, 36, … में क्रमिक पदों के बीच का अंतर है: 3, 5, 7, 9, 11 (विषम संख्याएं!)
• 1 = 1
• 4 = 1 + 3
• 9 = 1 + 3 + 5
• 16 = 1 + 3 + 5 + 7
→ प्रत्येक वर्ग संख्या = उस स्थान तक की विषम संख्याओं का योग।

पद-संकेतन: किसी अनुक्रम के n-वें पद को tₙ से दर्शाते हैं। विषम संख्याओं के अनुक्रम में: t₁ = 1, t₂ = 3, t₃ = 5, t₄ = 7 …
अभ्यास: अनुक्रम 1, 4, 7, 10, 13, … के अगले चार पद क्या हैं?

8.2 अनुक्रम के लिए स्पष्ट नियम (Explicit Rule for a Sequence)

tₙ संकेतन का उपयोग करके हम अनुक्रम के n-वें पद के लिए एक स्पष्ट नियम (Explicit Formula) लिख सकते हैं। स्पष्ट सूत्र पद की स्थिति संख्या n का उपयोग करके उस पद का मान प्रत्यक्ष ज्ञात करता है — पिछले पदों की जानकारी आवश्यक नहीं!

उदाहरण 1: व्यंजक uₙ = 2n – 1 पर विचार करें।
u₁ = 2×1–1 = 1 | u₂ = 2×2–1 = 3 | u₃ = 2×3–1 = 5
अतः uₙ = 2n–1 विषम संख्याओं का n-वें पद का स्पष्ट नियम है।
53वाँ पद: u₅₃ = 2×53–1 = 105 | 108वाँ पद: 215 | 1170वाँ पद: 2339

स्पष्ट नियम का अन्य उपयोग: क्या 137 विषम संख्याओं के अनुक्रम का पद है?
2n–1 = 137 → 2n = 138 → n = 69 → 137 इस अनुक्रम का 69वाँ पद है।

उदाहरण 2: अनुक्रम sₙ = 5n–2
प्रथम 6 पद: 3, 8, 13, 18, 23, 28 | 100वाँ पद: 498 | 1000वाँ पद: 4998
क्या 308 इस अनुक्रम का पद है? 5n–2 = 308 → n = 62 ✓ → 308 इसका 62वाँ पद है।
क्या 471 पद है? 5n–2 = 471 → n = 94.6 — प्राकृत संख्या नहीं → 471 इसका पद नहीं है।

सोचें: n को हमेशा प्राकृत संख्या क्यों होना चाहिए? क्योंकि पद की स्थिति ऋणात्मक या भिन्नात्मक नहीं हो सकती।
वर्ग संख्याओं का n-वाँ पद: tₙ = n²

अभ्यास (tₙ = 3n–7 पर आधारित) — विस्तृत हल

tₙ = 3n–7
(i) t₁ = –4 | t₂ = –1 | t₃ = 2 | t₁₂ = 29 | t₁₈ = 47 | t₅₀ = 143
(ii) 332 कौन सा पद है? 3n–7 = 332 → n = 113 → 332 इसका 113वाँ पद है।
(iii) 557 पद है? 3n–7 = 557 → n = 188 ✓ → हाँ, 557 इसका 188वाँ पद है।

8.3 अनुक्रम के लिए पुनरावर्ती नियम (Recursive Rule for a Sequence)

जब किसी अनुक्रम में प्रत्येक पद पिछले पद (या पदों) से संबंधित हो, तो इसे पुनरावर्ती नियम (Recursive Rule) कहते हैं।

उदाहरण: अनुक्रम 1, 4, 7, 10, 13, …
स्पष्ट नियम: tₙ = 3n–2
पुनरावर्ती नियम: t₁ = 1, tₙ = tₙ₋₁ + 3 (n ≥ 2)
महत्वपूर्ण: पुनरावर्ती नियम के लिए पहले के पदों का ज्ञान अनिवार्य है।

उदाहरण 3: u₁ = 1, uₙ = 2uₙ₋₁ + 3 (n ≥ 2)
u₁=1 | u₂=5 | u₃=13 | u₄=29 | u₅=61 | u₆=125 | u₇=253
क्या 133 इसका पद है? 125 < 133 < 253 → 133 इसका पद नहीं है।

उदाहरण 4: s₁=3, sₙ=sₙ₋₁(sₙ₋₁–1) (n ≥ 2)
s₁=3 | s₂=3×2=6 | s₃=6×5=30 | s₄=30×29=870

विराहाँका–फिबोनाची अनुक्रम (Virahānka–Fibonacci Sequence)

पुनरावर्ती नियम दो पिछले पदों पर भी आधारित हो सकता है। सबसे प्रसिद्ध उदाहरण:

V₁ = 1, V₂ = 2, Vₙ = Vₙ₋₁ + Vₙ₋₂ (n ≥ 3)
V₃=3 | V₄=5 | V₅=8 | V₆=13 | V₇=21 …
→ अनुक्रम: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

इस अनुक्रम को विराहाँका–फिबोनाची अनुक्रम कहते हैं। इसे सर्वप्रथम विराहाँका ने अपनी कृति वृत्तजातिसमुच्चय में 7वीं शताब्दी CE में प्राकृत छंद-शास्त्र के संदर्भ में खोजा। बाद में गोपाल (c. 1135), हेमचंद्र (c. 1150) और इतालवी गणितज्ञ Fibonacci (c. 1200) ने भी इसका अध्ययन किया।

अभ्यास सेट 8.1 — विस्तृत हल

प्र. 1: प्रथम पाँच पद ज्ञात करें:
(i) tₙ = 3n–4: –1, 2, 5, 8, 11
(ii) tₙ = 2–5n: –3, –8, –13, –18, –23
(iii) tₙ = n²–2n+3: 2, 3, 6, 11, 18

प्र. 2: tₙ = 5n–3 के 10वें और 15वें पद:
t₁₀ = 47 | t₁₅ = 72

प्र. 3: क्या 97 और 172 अनुक्रम tₙ = 5n–3 के पद हैं?
5n–3 = 97 → n = 20 ✓ → 97 इसका 20वाँ पद है।
5n–3 = 172 → n = 35 ✓ → 172 इसका 35वाँ पद है।

प्र. 4: tₙ = 5n–3 में कौन सा पद 607 है?
5n–3 = 607 → n = 122 → 607 इसका 122वाँ पद है।

प्र. 5: t₁ = –5, tₙ₊₁ = tₙ+3 — प्रथम 5 पद: –5, –2, 1, 4, 7
52 पद है? tₙ = 3n–8 → 3n–8=52 → n=20 ✓ → 52 इसका 20वाँ पद है।

प्र. 6: T₁=1, T₂=2, T₃=4, Tₙ=Tₙ₋₁+Tₙ₋₂+Tₙ₋₃ (n ≥ 4):
T₄=7 | T₅=13 | T₆=24 | T₇=44 | T₈=81

8.4 समांतर श्रेढ़ी (Arithmetic Progressions — AP)

एक बढ़ते प्रतिरूप में वर्गों की संख्या: 1, 5, 9, 13 … प्रत्येक चरण में 4 वर्ग जुड़ते हैं।
n-वाँ पद: tₙ = 1 + (n–1)×4 = 4n–3
क्रमिक पदों के बीच का अंतर सदा 4 है — यही सार्व अंतर (Common Difference) है।

समांतर श्रेढ़ी का n-वाँ पद: tₙ = a + (n–1) × d
जहाँ a = प्रथम पद, d = सार्व अंतर | AP का सामान्य रूप: a, a+d, a+2d, a+3d, …

AP के बिंदुओं को आलेखित करने पर ये एक सरल रेखा पर स्थित होते हैं।
Recursive नियम: t₁ = a, tₙ = tₙ₋₁ + d (n ≥ 2)

उदाहरण 5 (वास्तविक जीवन): टैक्सी — ₹200 बुकिंग शुल्क + ₹40 प्रति किमी।
अनुक्रम: 240, 280, 320, … → AP जहाँ a=240, d=40
tₙ = 200 + 40n
10 किमी का कुल किराया: t₁₀ = 200 + 40×10 = ₹600

8.5 प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग (Sum of the First n Natural Numbers)

गाउस की युक्ति:
S = 1 + 2 + 3 + … + 10
S = 10 + 9 + 8 + … + 1
2S = 11 × 10 = 110 → S = 55

सामान्य सूत्र: Sₙ = n(n+1) / 2
(सर्वप्रथम आर्यभट्ट की कृति आर्यभटीय, अध्याय 2, श्लोक 19 में)

S₂₀ = 20×21/2 = 210 | S₅₀ = 50×51/2 = 1275 | S₁₀₀₀ = 500500

क्रमागत संख्याओं का योग: 25 + 26 + … + 58
= S₅₈ – S₂₄ = 1711 – 300 = 1411

त्रिभुजीय संख्याओं से संबंध: tₙ = n(n+1)/2
10वीं = 55 | 17वीं = 153 | 80वीं = 3240

अभ्यास सेट 8.2 — विस्तृत हल

प्र. 1: AP: 3, 8, 13, 18, … (a=3, d=5)
t₁₀ = 3+9×5 = 48 | t₂₆ = 3+25×5 = 128

प्र. 2: AP: 21, 18, 15, … (a=21, d=–3)
–81 कौन सा पद? 21+(n–1)(–3)=–81 → n=35 → –81 इसका 35वाँ पद है।
क्या 0 पद है? n=8 ✓ → 0 इसका 8वाँ पद है।

प्र. 3: AP: 11, 8, 5, 2, … (a=11, d=–3)
tₙ = 14–3n | Recursive: t₁=11, tₙ=tₙ₋₁–3

प्र. 4: t₃=12, t₅₀=106 → d=2, a=8
t₂₉ = 8+28×2 = 64

प्र. 5: 3 से विभाज्य 2-अंकीय संख्याएं: 12, 15, …, 99 (n=30)
योग = 30/2 × (12+99) = 1665

प्र. 6: हरिश की आय AP: a=5,00,000; d=20,000; tₙ=7,00,000
n=11 → 11वें वर्ष में आय ₹7,00,000

प्र. 7: 25 पंक्तियों में कंचे: 1+2+…+25 = S₂₅ = 25×26/2 = 325 कंचे

8.6 गुणोत्तर श्रेढ़ी (Geometric Progressions — GP)

हरे वर्गों की संख्या: 3, 6, 12, 24, … (प्रत्येक चरण में दोगुनी)
n-वाँ पद: tₙ = 3 × 2ⁿ⁻¹
अनुपात सदा 2 — यही सार्व अनुपात (Common Ratio) है।

गुणोत्तर श्रेढ़ी का n-वाँ पद: tₙ = a × rⁿ⁻¹
जहाँ a = प्रथम पद, r = सार्व अनुपात | GP: a, ar, ar², ar³, …

उदाहरण 9: अनुक्रम 5, 15/4, 45/16, 135/64, …
t₂/t₁ = 3/4 | t₃/t₂ = 3/4 | t₄/t₃ = 3/4
→ GP है जहाँ a=5, r=3/4 | tₙ = 5 × (3/4)ⁿ⁻¹

8.6.1 फ्रैक्टल के साथ मज़ा — सीएर्पिन्स्की त्रिभुज (Sierpiński Triangle)

निर्माण: समबाहु त्रिभुज की तीनों भुजाओं के मध्यबिंदु मिलाएं → 4 छोटे त्रिभुज बनते हैं → केंद्रीय हटाएं = चरण 1। यह प्रक्रिया अनंत तक दोहराएं।

काले त्रिभुजों की संख्या: 1, 3, 9, 27, 81, … → GP: tₙ = 3ⁿ
काले क्षेत्रफल: 1, 3/4, (3/4)², (3/4)³, … → GP: sₙ = (3/4)ⁿ

Recursive: t₁=1, tₙ=3×tₙ₋₁ | s₁=1, sₙ=(3/4)×sₙ₋₁

फ्रैक्टल (Fractals): ऐसी आकृतियाँ जो विभिन्न पैमानों पर स्वयं को दोहराते हैं। किसी भी छोटे भाग को ज़ूम करें — वह पूरी आकृति जैसा दिखता है। वृक्षों की शाखाओं में, गोभी में, हिमकणों में यह प्रकृति में सर्वत्र पाया जाता है।

8.6.2 GP का दृश्यात्मक निरूपण

GP के बिंदुओं को आलेखित करने पर ये सरल रेखा पर नहीं बल्कि घातांकीय वक्र (Exponential Curve) पर स्थित होते हैं।
→ AP → सरल रेखा; GP → घातांकीय वक्र

उदाहरण 10 (उछलती गेंद): गेंद 24 फुट से गिराई, प्रत्येक बार 3/4 भाग उछाल (a=18, r=3/4):
पहली=18 | दूसरी=13.5 | तीसरी=10.125 | चौथी≈7.594 | पाँचवीं≈5.695 फुट
1/6 × 24 = 4 फुट। 7वीं उछाल ≈ 3.20 फुट (4 से कम) ✓
→ 7वीं उछाल के बाद गेंद मूल ऊँचाई के 1/6 से नीचे रहती है।

अभ्यास सेट 8.3 — विस्तृत हल

प्र. 1: r=2, t₈=192 → a×128=192 → a=3/2
t₁₂ = (3/2)×2¹¹ = 3072

प्र. 2: GP: 5, 25, 125, … (a=5, r=5)
t₁₀ = 5¹⁰ = 9765625 | tₙ = 5ⁿ

*प्र. 3: t₁=2, tₙ₊₁=3tₙ–2 → 2, 4, 10, 28, 82, 244, 730
→ 730 इसका 7वाँ पद है।

प्र. 4: GP: 2, 6, 18, … (a=2, r=3); tₙ=4374
2×3^(n–1)=4374 → 3^(n–1)=2187=3⁷ → n=8
Recursive: t₁=2, tₙ=3tₙ₋₁

प्र. 5: गेंद 80 मीटर से, 60% उछाल (a=80, r=0.6)
(i) 5वीं उछाल: 80×(0.6)⁵ ≈ 6.22 मीटर
(ii) 6वीं बार तक कुल दूरी ≈ 301.34 मीटर

प्र. 6: 2, 2√2, 4, … (a=2, r=√2); tₙ=128
2×(√2)^(n–1)=128=2⁷ → n–1=12 → n=13

प्र. 7: सीएर्पिन्स्की वर्ग कालीन (Sierpiński Square Carpet):
(i) चरण 0=1, 1=8, 2=64, 3=512
(ii) चरण 4=4096 | चरण 5=32768
(iii) n-वें चरण में: tₙ = 8ⁿ | Recursive: t₀=1, tₙ=8×tₙ₋₁
(iv) क्षेत्रफल: sₙ = (8/9)ⁿ → 0 की ओर घटता है।

अध्याय के अंत के प्रश्न — विस्तृत हल

प्र. 1: AP का 11वाँ पद=38, 16वाँ=73 → d=7, a=–32
t₃₁ = –32+30×7 = 178

प्र. 2: तीसरा पद=16; 7वाँ–5वाँ=12 → d=6, a=4
AP: 4, 10, 16, 22, 28, …

*प्र. 3: 7 से विभाज्य 3-अंकीय संख्याएं: 105, 112, …, 994
tₙ=994 → n=128 → 128 संख्याएं

*प्र. 4: 10 और 250 के बीच 4 के गुणज: 12, 16, …, 248
tₙ=248 → n=60 → 60 संख्याएं

*प्र. 5: GP जिसके t₁+t₂=–4, t₅=4t₃
r²=4 → r=±2; r=–2 → a=4 → GP: 4, –8, 16, –32, …

*प्र. 7: जीवाणु संख्या दोगुनी, प्रारंभ 30 (a=30, r=2)
2वें घंटे अंत: t₂=30×2²=120 | 4वें घंटे: 480 | n-वें घंटे: 30×2ⁿ

*प्र. 8: t₄+t₈=24, t₆+t₁₀=44 → d=5, a=–13
प्रथम तीन पद: –13, –8, –3

*प्र. 9: सबसे छोटा n जिसके लिए Sₙ > 1000:
n(n+1)/2 > 1000 → n = 45 (S₄₅=1035 > 1000 ✓)

*प्र. 10: GP: 2, 8, 32, … (a=2, r=4); tₙ=131072
2×4^(n–1)=2¹⁷ → n=9
Recursive: t₁=2, tₙ=4tₙ₋₁

*प्र. 11: GP के तीन पदों का योग=13/12, गुणनफल=–1
माना पद: a/r, a, ar → a³=–1 → a=–1
→ पद हैं: 4/3, –1, 3/4 (या 3/4, –1, 4/3)

*प्र. 12: GP के 4वें, 10वें, 16वें पद x, y, z हैं।
y/x = r⁶ और z/y = r⁶ → y² = xz → x, y, z GP में हैं। (सिद्ध)

*प्र. 13: GP के तीन पदों का योग=26, वर्गों का योग=364
पद a, ar, ar²: a+ar+ar²=26 → 2+6+18=26 ✓ और 4+36+324=364 ✓
→ GP के पद: 2, 6, 18 (a=2, r=3)

*प्र. 14: P₁=1, P₂=2, Pₙ=P₁+…+Pₙ₋₁+1
P₃=4, P₄=8, P₅=16, … → Pₙ = 2^(n–1)
Recursive: P₁=1, Pₙ=2Pₙ₋₁

*प्र. 15: W₁=1, W₂=2, Wₙ=W₁+…+Wₙ₋₂+2
W₃=3, W₄=5, W₅=8, W₆=13, W₇=21, W₈=34
→ यह विराहाँका–फिबोनाची अनुक्रम है!

AP और GP की तुलना — एक दृष्टि में

अध्याय सारांश — Chapter 8

• अनुक्रम (Sequence): संख्याओं की एक क्रमबद्ध सूची जहाँ प्रत्येक संख्या को पद (Term) कहते हैं।
• स्पष्ट नियम (Explicit Formula): पद की स्थिति n का उपयोग करके सीधे मान देता है। जैसे tₙ = 2n–1।
• पुनरावर्ती नियम (Recursive Formula): पिछले पद से वर्तमान पद देता है। जैसे t₁=1, tₙ=tₙ₋₁+3।
• त्रिभुजीय संख्याएं: 1, 3, 6, 10, … जहाँ tₙ = n(n+1)/2 — यही आर्यभट्ट का प्रथम n प्राकृत संख्याओं के योग का सूत्र है।
• AP: क्रमिक पदों का अंतर d स्थिर। tₙ = a+(n–1)d। बिंदु → सरल रेखा।
• GP: क्रमिक पदों का अनुपात r स्थिर। tₙ = arⁿ⁻¹। बिंदु → घातांकीय वक्र।
• विराहाँका–फिबोनाची: V₁=1, V₂=2, Vₙ=Vₙ₋₁+Vₙ₋₂ → 7वीं शताब्दी में भारत में खोजा गया।
• फ्रैक्टल और GP: सीएर्पिन्स्की त्रिभुज में संख्या बढ़ती है (3ⁿ), क्षेत्रफल शून्य की ओर घटता है ((3/4)ⁿ)।

महत्वपूर्ण सूत्र:
प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग: Sₙ = n(n+1)/2
AP का n-वाँ पद: tₙ = a+(n–1)d
GP का n-वाँ पद: tₙ = arⁿ⁻¹
सीएर्पिन्स्की त्रिभुज — काले त्रिभुज: 3ⁿ | क्षेत्रफल: (3/4)ⁿ
सीएर्पिन्स्की वर्ग कालीन — लाल वर्ग: 8ⁿ | क्षेत्रफल: (8/9)ⁿ

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQs)

प्रश्न 1: स्पष्ट नियम और पुनरावर्ती नियम में क्या अंतर है?
उत्तर: स्पष्ट नियम से 100वाँ पद सीधे निकाल सकते हैं — पहले 99 पद जाने बिना। पुनरावर्ती नियम से 100वाँ पद पाने के लिए पहले 99वाँ, 98वाँ … सब निकालने होंगे। स्पष्ट नियम तेज़ है; पुनरावर्ती नियम कुछ अनुक्रमों में आसानी से लिखा जाता है।

प्रश्न 2: AP और GP में कैसे पहचानें?
उत्तर: क्रमिक पदों का अंतर निकालें — यदि बराबर है तो AP। यदि नहीं, तो क्रमिक पदों का भाग (ratio) देखें — यदि बराबर है तो GP।

प्रश्न 3: विराहाँका–फिबोनाची और फिबोनाची में क्या अंतर है?
उत्तर: दोनों का नियम Vₙ=Vₙ₋₁+Vₙ₋₂ है लेकिन शुरुआत अलग। विराहाँका का: V₁=1, V₂=2 → 1,2,3,5,8,… फिबोनाची का: F₁=1, F₂=1 → 1,1,2,3,5,8,… विराहाँका ने इसे 7वीं शताब्दी में, फिबोनाची ने 13वीं शताब्दी में लिखा।

प्रश्न 4: Sₙ = n(n+1)/2 सूत्र कैसे याद रखें?
उत्तर: याद रखें — 1 से 10 तक का योग = 55 = 10×11/2। जब भी n और n+1 गुणा करके 2 से भाग दो, वह S मिलता है। यह त्रिभुजीय संख्या का n-वाँ पद भी है।

प्रश्न 5: फ्रैक्टल में संख्या बढ़ती है पर क्षेत्रफल घटता है — यह कैसे?
उत्तर: हर बार त्रिभुज 3 गुना होते हैं लेकिन हर नया त्रिभुज पहले का 1/4 क्षेत्रफल वाला होता है। 3 × 1/4 = 3/4 — यानी कुल क्षेत्रफल हर बार 3/4 रह जाता है। चूंकि 3/4 < 1, इसलिए क्षेत्रफल घटता है जबकि संख्या बढ़ती है।

कोई प्रश्न समझ नहीं आया? AP, GP, पुनरावर्ती नियम या फ्रैक्टल — कहीं भी अटकें तो नीचे Comment में अपना प्रश्न नंबर और कक्षा लिखकर पूछें। Aapbiti पर हर सवाल का जवाब सरल हिंदी में दिया जाएगा।