कक्षा 8 गणित अध्याय 1: वर्ग और घन – हाथ से लिखे नोट्स, परिभाषाएँ और पूरे हल (NCERT गणित प्रकाश)

 अध्याय 1 : वर्ग और घन

गणित प्रकाश · कक्षा 8 · हाथ से लिखे नोट्स 

 लॉकर पहेली (रानी रत्नामंजुरी)

गुणनखंड : वह संख्या जो दी गई संख्या को पूरा-पूरा भाग दे। सह-गुणनखंड : गुणनखंडों की जोड़ी जिनका गुणनफल दी गई संख्या हो (6 → 1×6, 2×3)। जोड़ी में दोनों अलग हों तो गुणनखंड सम संख्या में होते हैं; जब कोई गुणनखंड स्वयं से गुणा हो (2×2) तो जोड़ी में एक ही आता है, इसलिए गुणनखंड विषम होते हैं।

1, 4, 9 के गुणनखंड : 1 | 1,2,4 | 1,3,9 (विषम संख्या)

✅ खुले लॉकर = पूर्ण वर्ग : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 (कुल 10)।
दो बार घूमे = अभाज्य संख्याएँ (गुणनखंड 1 और स्वयं) → कोड 2-3-5-7-11।

1.1 वर्ग संख्याएँ

वर्ग संख्या : किसी संख्या को स्वयं से गुणा करने पर मिला गुणनफल। n × n = n² (“n का वर्ग”)।
पूर्ण वर्ग : प्राकृत संख्याओं के वर्ग (1, 4, 9, 16, 25, …)।
भिन्न/दशमलव का भी वर्ग होता है : (3/5)² = 9/25, (2.5)² = 6.25।

संख्या का इकाई अंक	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
वर्ग का इकाई अंक	0	1	4	9	6	5	6	9	4	1

उदाहरण : 16=4², 36=6², 196=14², 256=16², 576=24², 676=26² — इकाई 4 या 6 वाली संख्या के वर्ग का इकाई अंक 6।

क्रमागत वर्गों का अंतर : 4−1=3, 9−4=5, 16−9=7, 25−16=9 → n² और (n+1)² का अंतर = 2n+1।
पहली n विषम संख्याओं का योग = n²। nवीं विषम संख्या = 2n − 1।
दो क्रमागत वर्गों n² और (n+1)² के बीच 2n प्राकृत संख्याएँ आती हैं।

36² ज्ञात करो (35² = 1225) : 36वीं विषम संख्या = 2×36−1 = 71 → 1225 + 71 = 1296।

त्रिभुजाकार संख्याएँ : बिंदुओं को त्रिभुज में सजाने से बनी 1, 3, 6, 10, 15, … ; दो क्रमागत त्रिभुजाकार संख्याओं का योग पूर्ण वर्ग होता है।

वर्गमूल (√)

वर्गमूल : यदि y = x² तो y का वर्गमूल x है (वर्ग की विपरीत क्रिया)। 49 का वर्गमूल 7।
हर पूर्ण वर्ग के दो वर्गमूल होते हैं — एक धनात्मक, एक ऋणात्मक : √64 = ±8। इस अध्याय में केवल धनात्मक वर्गमूल लेते हैं। √(n²) = n।

√250 : 15²=225, 16²=256 → 15 < √250 < 16, 256 पास है → लगभग 16 (थोड़ा कम)।
125 cm² कपड़े से अधिकतम पूर्णांक भुजा का रुमाल : 11²=121 ≤ 125 < 144 → 11 cm।

1.2 घन संख्याएँ

घन : ऐसी ठोस आकृति जिसकी सभी भुजाएँ बराबर हों और समकोण पर मिलें।
घन संख्या (पूर्ण घन) : किसी संख्या को स्वयं से तीन बार गुणा करने पर प्राप्त संख्या। n × n × n = n³। जैसे 1, 8, 27, 64, 125, 216 …
1 cm के 8 घनों से 2 cm का घन, 27 से 3 cm का, 4×4×4 = 64 से 4 cm का घन बनता है।

n	n³	n	n³	n	n³	n	n³
1	1	6	216	11	1331	16	4096
2	8	7	343	12	1728	17	4913
3	27	8	512	13	2197	18	5832
4	64	9	729	14	2744	19	6859
5	125	10	1000	15	3375	20	8000

घनों के गुण
• संख्या का इकाई अंक 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 → घन का इकाई अंक 0,1,8,7,4,5,6,3,2,9 (सभी अंक संभव)
• विषम का घन विषम, सम का घन सम; (−6)³ = −216; (2/3)³ = 8/27
• घन के अंत में शून्य 3 के गुणज में आते हैं, इसलिए केवल दो शून्य (00) नहीं हो सकते
• 1 अंक के घन : 2 (1, 8); 2 अंक के : 2 (27, 64); 3 अंक के : 5 (125, 216, 343, 512, 729)

1 = 1³ ; 3+5 = 8 = 2³ ; 7+9+11 = 27 = 3³ ; 13+15+17+19 = 64 = 4³ → n³ = n क्रमागत विषम संख्याओं का योग।
91+93+…+109 (10 पद) = 10³ = 1000।

घनमूल (∛)

घनमूल : यदि y = x³ तो y का घनमूल x है, ∛y = x। ∛8 = 2, ∛27 = 3, ∛(n³) = n।
विधि : अभाज्य गुणनखंडों को तीन समान समूहों में बाँटो। हर संख्या के घन में उसका हर अभाज्य गुणनखंड 3 बार आता है।

संख्या	अभाज्य गुणनखंड	घन के गुणनखंड
4	2×2	2³ × 2³
6	2×3	2³ × 3³
15	3×5	3³ × 5³
12	2×2×3	2³ × 2³ × 3³

3375 = (3×3×3)×(5×5×5) = 3³×5³ = 15³ → ∛3375 = 15 ✔ ; 500 = 2×2×5×5×5 → तीन समान समूह नहीं बनते → घन नहीं ✘ ; ∛64=4, ∛512=8, ∛729=9।

1.3 इतिहास की झलक ?

? अभ्यास सूची — कौन-सा exercise कहाँ है

? हल पढ़ने का तरीका : पहले नीला बॉक्स (प्रश्न) पढ़ो, फिर हरा बॉक्स (हल) — उसमें “सोच” = कौन-सा नियम लगाना है, फिर कदम-दर-कदम गणना, अंत में “जाँच”।

✏️ Exercise A — आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 10) · प्रश्न 1 से 9

? Exercise A · पृष्ठ 10 · प्रश्न 1 कौन-सी संख्याएँ पूर्ण वर्ग नहीं हैं? (i) 2032 (ii) 2048 (iii) 1027 (iv) 1089

सोच : पूर्ण वर्ग का इकाई अंक सिर्फ़ 0, 1, 4, 5, 6, 9 होता है। इकाई अंक 2, 3, 7, 8 हो तो संख्या तुरंत वर्ग नहीं।
(i) 2032 → इकाई 2 ✘   (ii) 2048 → इकाई 8 ✘   (iii) 1027 → इकाई 7 ✘
(iv) 1089 → इकाई 9 (संभव) पर पक्का करने को गुणनखंड : 1089 = 3×3×11×11 = (3×11)² = 33² ✔ वर्ग है।
उत्तर : (i), (ii), (iii)

? Exercise A · पृष्ठ 10 · प्रश्न 2 64², 108², 292², 36² में से किसका इकाई अंक 4 है?

सोच : वर्ग का इकाई अंक सिर्फ़ संख्या के इकाई अंक के वर्ग से तय होता है।
64 → 4²=16 → 6 ; 108 → 8²=64 → 4 ✔ ; 292 → 2²=4 → 4 ✔ ; 36 → 6²=36 → 6।
उत्तर : 108² और 292²

? Exercise A · पृष्ठ 10 · प्रश्न 3 यदि 125² = 15625 तो 126² = ? (i) 15625+126 (ii) 15625+26² (iii) 15625+253 (iv) 15625+251 (v) 15625+51²

सोच : अगला वर्ग = पिछला वर्ग + अगली विषम संख्या। सूत्र : (n+1)² = n² + n + (n+1) = n² + (2n+1)।
यहाँ n = 125 → 2n+1 = 251 → 126² = 15625 + 251 = 15876।
जाँच : 126×126 = 15876 ✔ उत्तर : (iv)

? Exercise A · पृष्ठ 10 · प्रश्न 4 441 वर्ग मीटर क्षेत्रफल वाले वर्ग की भुजा ज्ञात कीजिए।

सोच : वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा², इसलिए भुजा = √441।
441 = 3 × 147 = 3×3×49 = 3×3×7×7 → जोड़ियाँ (3×3), (7×7) → एक-एक लें : 3×7 = 21।
जाँच : 21×21 = 441 ✔ उत्तर : 21 मीटर

? Exercise A · पृष्ठ 10 · प्रश्न 5 वह सबसे छोटी वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए जो 4, 9 और 10 से विभाजित हो।

सोच : (1) तीनों से विभाजित होने के लिए LCM लो; (2) फिर देखो हर अभाज्य की जोड़ी बन रही है या नहीं।
4 = 2×2, 9 = 3×3, 10 = 2×5 → LCM = 2×2×3×3×5 = 180।
180 में 2 और 3 जोड़ी में हैं, पर 5 अकेला है → वर्ग बनाने को एक और 5 चाहिए → 180×5 = 900।
जाँच : 900 = 30² और 900 ÷ 4, ÷ 9, ÷ 10 पूरा विभाजित ✔ उत्तर : 900

? Exercise A · पृष्ठ 10 · प्रश्न 6 वह सबसे छोटी संख्या जिसे 9408 से गुणा करने पर पूर्ण वर्ग मिले। गुणनफल का वर्गमूल भी लिखिए।

सोच : 9408 के अभाज्य गुणनखंड करके देखो कौन अकेला रह गया।
9408 = 2×2×2×2×2×2×147 और 147 = 3×7×7 → 9408 = 2⁶ × 3 × 7²।
2⁶ (तीन जोड़ी) और 7² (एक जोड़ी) ठीक हैं, 3 अकेला है → 3 से गुणा।
नया गुणनफल = 9408×3 = 28224 = 2⁶×3²×7² → वर्गमूल = 2³×3×7 = 8×21 = 168।
जाँच : 168² = 28224 ✔ उत्तर : 3 ; वर्गमूल 168

? Exercise A · पृष्ठ 10 · प्रश्न 7 वर्गों के बीच कितनी संख्याएँ हैं? (i) 16² और 17² (ii) 99² और 100²

सोच : n² और (n+1)² के बीच 2n संख्याएँ होती हैं (क्योंकि अंतर 2n+1 है और दोनों सिरे छोड़ने हैं)।
(i) n = 16 → 2×16 = 32 (257 से 288 तक)।
(ii) n = 99 → 2×99 = 198 (9802 से 9999 तक)।
नोट : प्रश्न में “16 और 17” का मतलब इन संख्याओं के वर्ग लिया है।

? Exercise A · पृष्ठ 10 · प्रश्न 8 प्रतिरूप में लुप्त संख्या : 1²+2²+2² = 3², 2²+3²+6² = 7², 3²+4²+12² = 13², 4²+5²+20² = (__)², 9²+10²+(__)² = (__)²

सोच : पहली दो संख्याएँ क्रमागत (a, a+1), तीसरी = a×(a+1), और उत्तर = a(a+1)+1।
जाँच : 1·2 = 2 ✔, 2·3 = 6 ✔, 3·4 = 12 ✔, उत्तर 3 = 2+1, 7 = 6+1, 13 = 12+1।
4, 5 → 4×5 = 20, उत्तर 21 : 16+25+400 = 441 = 21² ✔
9, 10 → 9×10 = 90, उत्तर 91 : 81+100+8100 = 8281 = 91² ✔
उत्तर : 21 ; 9²+10²+90² = 91²

? Exercise A · पृष्ठ 10 · प्रश्न 9 चित्र में छोटे वर्गों की संख्या और उसका अभाज्य गुणनखंडन लिखिए।

✏️ Exercise B — आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 17) · प्रश्न 1 से 5

? Exercise B · पृष्ठ 17 · प्रश्न 1 27000 और 10648 का घनमूल ज्ञात कीजिए।

सोच : अभाज्य गुणनखंड करके तीन-तीन के समूह बनाओ, हर समूह से एक लो।
27000 = 27 × 1000 = 3³ × 10³ = (3×10)³ = 30³ → 30।
10648 : ÷2 = 5324, ÷2 = 2662, ÷2 = 1331 और 1331 = 11×11×11 → 10648 = 2³ × 11³ = (2×11)³ = 22³ → 22।

? Exercise B · पृष्ठ 17 · प्रश्न 2 1323 को घन संख्या बनाने के लिए किस संख्या से गुणा करें?

सोच : घन में हर अभाज्य गुणनखंड 3, 6, 9… बार आना चाहिए।
1323 = 3×441 = 3×3×147 = 3×3×3×49 = 3³ × 7²।
3 तीन बार ✔ पूरा समूह; 7 केवल दो बार ✘ — एक 7 और चाहिए।
1323 × 7 = 9261 = 3³×7³ = 21³ ✔ उत्तर : 7

? Exercise B · पृष्ठ 17 · प्रश्न 3 सत्य या असत्य बताइए, तर्क सहित। (i) विषम संख्या का घन सम होगा (ii) कोई पूर्ण घन 8 पर समाप्त नहीं होता (iii) 2 अंकीय संख्या का घन 3 अंकीय हो सकता है (iv) 2 अंकों वाली संख्या के घन में 7 या अधिक अंक हो सकते हैं (v) घन संख्याओं के गुणनखंडों की संख्या विषम होती है

(i) असत्य। विषम × विषम × विषम = विषम। जैसे 3³ = 27।
(ii) असत्य। 2 का घन 8 है और 12³ = 1728 भी 8 पर समाप्त होता है (इकाई 2 → घन का इकाई 8)।
(iii) असत्य। सबसे छोटी 2 अंकीय संख्या 10 है और 10³ = 1000 (4 अंक)। इसलिए घन कम-से-कम 4 अंक का होगा।
(iv) असत्य। सबसे बड़ी 2 अंकीय संख्या 99 है, 99³ = 970299 जो 6 अंक की है। 7 अंक कभी नहीं।
(v) असत्य। गुणनखंड विषम केवल पूर्ण वर्ग के होते हैं। 8 = 2³ घन है पर इसके गुणनखंड 1, 2, 4, 8 यानी 4 (सम) हैं।

? Exercise B · पृष्ठ 17 · प्रश्न 4 1331 पूर्ण घन है। गुणनखंड किए बिना घनमूल का अनुमान लगाइए। ऐसे ही 4913, 12167, 32768 के भी।

सोच : दो कदम — (1) घन का इकाई अंक देखकर मूल का इकाई अंक; (2) घन किन दो दहाई-घनों (1000, 8000, 27000, 64000…) के बीच है, उससे दहाई अंक।
इकाई अंक का नियम : 1→1, 8→2, 7→3, 4→4, 5→5, 6→6, 3→7, 2→8, 9→9, 0→0।
1331 : इकाई 1 → मूल का इकाई 1; 10³=1000 < 1331 < 20³=8000 → दहाई 1 → 11।
4913 : इकाई 3 → 7; 1000 < 4913 < 8000 → दहाई 1 → 17।
12167 : इकाई 7 → 3; 20³=8000 < 12167 < 30³=27000 → दहाई 2 → 23।
32768 : इकाई 8 → 2; 30³=27000 < 32768 < 40³=64000 → दहाई 3 → 32।
जाँच : 11³=1331, 17³=4913, 23³=12167, 32³=32768 ✔

? Exercise B · पृष्ठ 17 · प्रश्न 5 सबसे बड़ा कौन है? (i) 67³−66³ (ii) 43³−42³ (iii) 67²−66² (iv) 43²−42²

सोच : क्रमागत संख्याओं के अंतर का सूत्र लगाओ, पूरे घन निकालने की ज़रूरत नहीं।
वर्ग : (a+1)² − a² = 2a+1 → (iii) a=66 : 133 ; (iv) a=42 : 85।
घन : (a+1)³ − a³ = 3a² + 3a + 1 → (i) a=66 : 3×4356 + 198 + 1 = 13267 ; (ii) a=42 : 3×1764 + 126 + 1 = 5419।
तुलना : 13267 > 5419 > 133 > 85 → उत्तर : (i) 67³ − 66³
तर्क : घन का अंतर a² के साथ बढ़ता है, जबकि वर्ग का अंतर केवल a के साथ; और a बड़ा होने से भी अंतर बड़ा।

? Exercise C — पाठ के बीच के “?” प्रश्न (C1 से C10)

C1 · पृष्ठ 2 — क्या हर संख्या के गुणनखंडों की संख्या सम होती है?
→ नहीं। गुणनखंड जोड़ी में आते हैं (6: 1×6, 2×3 → 4 गुणनखंड), पर जब जोड़ी के दोनों अंक बराबर हों (4 = 2×2) तो एक ही गिना जाता है → 1, 2, 4 = 3 गुणनखंड (विषम)। यह सिर्फ़ पूर्ण वर्ग के साथ होता है।

C2 · पृष्ठ 4 — ऐसी 5 संख्याएँ लिखो जो इकाई अंक देखकर ही वर्ग नहीं निकलें।
→ इकाई 2, 3, 7, 8 वाली कोई भी : 22, 53, 147, 1018, 2003 — इनमें से कोई वर्ग नहीं।

C3 · पृष्ठ 5 — किन में इकाई अंक 6 है? (i) 38² (ii) 34² (iii) 46² (iv) 56² (v) 74² (vi) 82²
→ मूल का इकाई 4 या 6 हो तो वर्ग का 6। 38→8 (64→4) ✘, 34→4 ✔, 46→6 ✔, 56→6 ✔, 74→4 ✔, 82→2 (4) ✘। उत्तर : (ii), (iii), (iv), (v)।

C4 · पृष्ठ 5 — संख्या के अंत में 3 शून्य हैं तो वर्ग के अंत में कितने?
→ 1000² = 1000000 → 6 शून्य (शून्य दुगुने होते हैं)। इसलिए वर्ग के अंत में शून्य हमेशा सम संख्या में ही होते हैं।

C5 · पृष्ठ 7 — दो क्रमागत पूर्ण वर्गों के बीच कितनी प्राकृत संख्याएँ? 1–100 आदि में कितने वर्ग?
→ n² और (n+1)² के बीच 2n संख्याएँ। खंडवार वर्ग : 1–100 → 10; 101–200 → 4; 201–300 → 3; 301–400 → 3; 401–500 → 2; 501–600 → 2; 601–700 → 2; 701–800 → 2; 801–900 → 2; 901–1000 → 1। 1000 से छोटा सबसे बड़ा वर्ग 961 (31²)।

C6 · पृष्ठ 9 — 156 पूर्ण वर्ग है? 1156 और 2800?
→ 156 = 2×2×3×13 → 3 और 13 अकेले ✘। 1156 = 2×2×17×17 = (2×17)² = 34² ✔। 2800 = 2⁴×5²×7 → 7 अकेला ✘।

C7 · पृष्ठ 12 — क्या 9 पूर्ण घन है? (और 10 से 26 में?)
→ 2³ = 8, 3³ = 27 → 8 और 27 के बीच कोई घन नहीं, इसलिए 9 और 10 से 26 तक कोई घन नहीं।

C8 · पृष्ठ 13 — घनों के संभावित इकाई अंक? क्या घन के अंत में 00 हो सकता है?
→ संख्या का इकाई 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 → घन का 0,1,8,7,4,5,6,3,2,9 (सभी अंक संभव)। 10³ = 1000 (3 शून्य), 20³ = 8000 → शून्य 3, 6, 9 के गुणज में आते हैं, इसलिए सिर्फ़ दो शून्य (00) संभव नहीं।

C9 · पृष्ठ 14 — 1729 के बाद की टैक्सीकैब 4104 और 13832 को दो घनों के योग के दो तरीकों से लिखो।
→ 4104 = 2³ + 16³ (8+4096) = 9³ + 15³ (729+3375)। 13832 = 2³ + 24³ (8+13824) = 18³ + 20³ (5832+8000)।

C10 · पृष्ठ 14–15 — 91+93+…+109 का योग? 64, 512, 729 का घनमूल?
→ पद गिनो : 91 से 109 तक 10 विषम पद → योग = 10³ = 1000 (n पदों का योग n³)। ∛64 = ∛(2³×2³) = 2×2 = 4; ∛512 = ∛(2³×2³×2³) = 8; ∛729 = ∛(3³×3³) = 3×3 = 9।

? सारांश (याद रखो)

1) स्वयं से गुणा → वर्ग; प्राकृत संख्याओं के वर्ग → पूर्ण वर्ग।
2) वर्ग का इकाई अंक 0,1,4,5,6,9; अंत में शून्य सम संख्या में।
3) वर्गमूल, वर्ग की विपरीत क्रिया; √ चिह्न से धनात्मक मूल।
4) तीन बार गुणा → घन; ∛ घनमूल का चिह्न।
5) अभाज्य गुणनखंड दो समान समूह → वर्ग; तीन समान समूह → घन।