समुच्चय (Sets) — कक्षा 11 गणित, अध्याय 1
सम्पूर्ण हल — हर प्रश्न, हर उपभाग, चरण-दर-चरण विधि सहित
1.1 समुच्चय की परिभाषा
समुच्चय = वस्तुओं का सुपरिभाषित संग्रह (well-defined collection)। सुपरिभाषित का अर्थ — किसी भी वस्तु के लिए निश्चित रूप से बता सकें कि वह समुच्चय में है या नहीं।
जनक: जॉर्ज कैंटर (Georg Cantor), 1845–1918
N=प्राकृत {1,2,3,...} | Z=पूर्णांक | Q=परिमेय | R=वास्तविक | Z⁺,Q⁺,R⁺=धन वाले
(i) रोस्टर रूप: सभी अवयव { } में — जैसे {2,4,6} (ii) समुच्चय निर्माण रूप: गुणधर्म लिखते हैं — जैसे {x:x एक स्वर है}
प्रश्नावली 1.1 — सम्पूर्ण हल
प्रश्न 1. निम्नलिखित में कौन से समुच्चय हैं? अपने उत्तर का औचित्य बताइए।
(i) J अक्षर से प्रारंभ होने वाले वर्ष के महीनों का संग्रह
(ii) भारत के दस सबसे अधिक प्रतिभाशाली लेखकों का संग्रह
(iii) विश्व के सर्वश्रेष्ठ ग्यारह बल्लेवाजों का संग्रह
(iv) आपकी कक्षा के सभी बालकों का संग्रह
(v) 100 से कम सभी प्राकृत संख्याओं का संग्रह
(vi) लेखक प्रेमचंद द्वारा लिखित उपन्यासों का संग्रह
(vii) सभी सम पूर्णांकों का संग्रह
(viii) इस अध्याय में आने वाले प्रश्नों का संग्रह
(ix) विश्व के सबसे अधिक खतरनाक जानवरों का संग्रह
हल:
(i) "J" से शुरू होने वाले महीने — June, July, January तीनों संभव, निश्चित नहीं → समुच्चय नहीं है
(ii) "प्रतिभाशाली" व्यक्ति-व्यक्ति के हिसाब से बदलता है → समुच्चय नहीं है
(iii) "सर्वश्रेष्ठ" राय पर निर्भर → समुच्चय नहीं है
(iv) निश्चित रूप से गिने जा सकते हैं → समुच्चय है
(v) निश्चित संख्याएँ → समुच्चय है
(vi) रिकॉर्ड से पता चल सकता है → समुच्चय है
(vii) निश्चित परिभाषा है → समुच्चय है
(viii) गिने जा सकते हैं → समुच्चय है
(ix) "खतरनाक" राय पर निर्भर → समुच्चय नहीं है
समझाइए: पूछो — "क्या मैं हर वस्तु के लिए निश्चित बता सकता हूँ कि वह अंदर है या नहीं?" जवाब राय/मत पर निर्भर हो (जैसे "प्रतिभाशाली", "सर्वश्रेष्ठ", "खतरनाक") → समुच्चय नहीं। तथ्य से पता चले → समुच्चय है।
प्रश्न 2. मान लीजिए A = {1,2,3,4,5,6}, रिक्त स्थानों में उपयुक्त प्रतीक ∈ अथवा ∉ भरिए: (i) 5...A (ii) 8...A (iii) 0...A (iv) 4...A (v) 2...A (vi) 10...A
हल: A={1,2,3,4,5,6} की सूची में हर संख्या जाँची — है तो ∈, नहीं तो ∉
उत्तर: 5∈A, 8∉A, 0∉A, 4∈A, 2∈A, 10∉A
समझाइए: बस चेक करो — दी गई संख्या A की लिस्ट में है या नहीं।
प्रश्न 3. निम्नलिखित समुच्चयों को रोस्टर रूप में लिखिए:
(i) A={x: x पूर्णांक है और −3
(ii) B={x: x संख्या 6 से कम एक प्राकृत संख्या है}
(iii) C={x: x दो अंकों की ऐसी प्राकृत संख्या है जिसके अंकों का योगफल 8 है}
(iv) D={x: x एक अभाज्य संख्या है जो संख्या 60 की भाजक है}
(v) E = TRIGONOMETRY शब्द के सभी अक्षरों का समुच्चय
(vi) F = BETTER शब्द के सभी अक्षरों का समुच्चय
हल:
(i) −3 और 7 के बीच पूर्णांक (सिरे शामिल नहीं) → −2,−1,0,1,2,3,4,5,6
(ii) 6 से छोटी प्राकृत संख्याएँ → 1,2,3,4,5
(iii) अंकों का योग 8: 1+7=17, 2+6=26, 3+5=35, 4+4=44, 5+3=53, 6+2=62, 7+1=71, 8+0=80
(iv) 60=2×2×3×5 → अभाज्य गुणनखंड 2,3,5
(v) T,R,I,G,O,N,O,M,E,T,R,Y से दोहराव हटाया
(vi) B,E,T,T,E,R से दोहराव हटाया
उत्तर: A={−2,−1,0,1,2,3,4,5,6}; B={1,2,3,4,5}; C={17,26,35,44,53,62,71,80}; D={2,3,5}; E={T,R,I,G,O,N,M,E,Y}; F={B,E,T,R}
समझाइए: शर्त पूरी करने वाली हर वस्तु एक-एक करके निकालो, दोहराए गए अक्षर सिर्फ एक बार लिखो।
प्रश्न 4. निम्नलिखित समुच्चयों को समुच्चय निर्माण रूप में व्यक्त कीजिए:
(i) {3,6,9,12} (ii) {2,4,8,16,32} (iii) {5,25,125,625} (iv) {2,4,6,...} (v) {1,4,9,...,100}
हल:
(i) हर संख्या 3 का गुणज: 3×1,3×2,3×3,3×4
(ii) हर संख्या 2 की घात: 2¹,2²,2³,2⁴,2⁵
(iii) हर संख्या 5 की घात: 5¹,5²,5³,5⁴
(iv) सभी सम संख्याएँ, अनंत तक
(v) वर्ग संख्याएँ 1² से 10² तक (10²=100)
उत्तर:
(i) {x: x=3n, n∈N, 1≤n≤4}
(ii) {x: x=2ⁿ, n∈N, 1≤n≤5}
(iii) {x: x=5ⁿ, n∈N, 1≤n≤4}
(iv) {x: x एक सम प्राकृत संख्या है}
(v) {x: x=n², n∈N, 1≤n≤10}
समझाइए: लिस्ट में पैटर्न ढूँढो — गुणज, घात या वर्ग।
प्रश्न 5. निम्नलिखित समुच्चयों के सभी अवयवों (सदस्यों) को सूचीबद्ध कीजिए:
(i) A={x: x एक विषम प्राकृत संख्या है}
(ii) B={x: x एक पूर्णांक है, −1/2
(iii) C={x: x एक पूर्णांक है, x²≤4}
(iv) D={x: x, LOYAL शब्द का एक अक्षर है}
(v) E={x: x वर्ष का एक ऐसा महीना है, जिसमें 31 दिन नहीं होते हैं}
(vi) F={x: x अंग्रेज़ी वर्णमाला का एक व्यंजन है, जो k से पहले आता है}
हल:
(ii) −0.5 से 4.5 के बीच पूर्णांक → 0,1,2,3,4
(iii) x²≤4 माने −2 से 2 के बीच पूर्णांक → −2,−1,0,1,2
उत्तर: A={1,3,5,7,...}; B={0,1,2,3,4}; C={−2,−1,0,1,2}; D={L,O,Y,A}; E={फरवरी,अप्रैल,जून,सितंबर,नवंबर}; F={b,c,d,f,g,h,j}
समझाइए: असमानता को संख्या रेखा पर सोचो, फिर उस दायरे की सही प्रकार की संख्याएँ चुनो।
प्रश्न 6. बाईं ओर रोस्टर रूप में लिखित और दाईं ओर समुच्चय निर्माण रूप में वर्णित समुच्चयों का सही मिलान कीजिए: (i){1,2,3,6} (ii){2,3} (iii){M,A,T,H,E,I,C,S} (iv){1,3,5,7,9} — विकल्प: (a)6 की अभाज्य भाजक (b)10 से कम विषम (c)6 का भाजक प्राकृत संख्या (d)MATHEMATICS के अक्षर
हल: हर लिस्ट का common गुणधर्म पहचाना।
उत्तर: (i)-(c), (ii)-(a), (iii)-(d), (iv)-(b)
समझाइए: हर रोस्टर लिस्ट की खासियत पहचानो, फिर उसी खासियत वाला निर्माण रूप ढूँढो।
1.3–1.5 रिक्त, परिमित/अपरिमित, समान समुच्चय
रिक्त समुच्चय (φ): कोई अवयव नहीं। परिमित: अवयव गिने जा सकें। अपरिमित: अवयव अनगिनत। समान समुच्चय: दोनों में तथ्यतः वही अवयव हों → A=B
प्रश्नावली 1.2 — सम्पूर्ण हल
प्रश्न 1. निम्नलिखित में से कौन से रिक्त समुच्चय के उदाहरण हैं?
(i) 2 से भाज्य विषम प्राकृत संख्याओं का समुच्चय
(ii) सम अभाज्य संख्याओं का समुच्चय
(iii) {x: x एक प्राकृत संख्या है, x<5 और साथ ही साथ x>7}
(iv) {y: y किन्हीं भी दो समांतर रेखाओं का उभयनिष्ठ बिंदु है}
हल:
(i) कोई भी संख्या एक साथ सम व विषम नहीं हो सकती → रिक्त
(ii) 2 खुद सम अभाज्य संख्या है → रिक्त नहीं
(iii) कोई संख्या 5 से छोटी और 7 से बड़ी एक साथ नहीं हो सकती → रिक्त
(iv) समांतर रेखाएँ कभी नहीं मिलतीं → रिक्त
उत्तर: (i) रिक्त, (ii) रिक्त नहीं, (iii) रिक्त, (iv) रिक्त
समझाइए: शर्त पूरी करने वाली एक भी वस्तु ढूँढो। दो उलटी शर्तें साथ कभी पूरी नहीं होतीं → रिक्त।
प्रश्न 2. निम्नलिखित समुच्चयों में से कौन परिमित और कौन अपरिमित हैं?
(i) वर्ष के महीनों का समुच्चय (ii) {1,2,3,...} (iii) {1,2,3,...99,100} (iv) 100 से बड़े धन पूर्णांकों का समुच्चय (v) 99 से छोटे अभाज्य पूर्णांकों का समुच्चय
हल: गिनती हो सकती है तो परिमित, अनंत तक चले तो अपरिमित।
उत्तर: (i) परिमित, (ii) अपरिमित, (iii) परिमित, (iv) अपरिमित, (v) परिमित
समझाइए: "..." अनंत तक चलने का संकेत है → अपरिमित। एक सीमा तक रुकने वाली सूची → परिमित।
प्रश्न 3. निम्नलिखित समुच्चयों में से प्रत्येक के लिए बताइए कि कौन परिमित है और कौन अपरिमित है:
(i) x-अक्ष के समांतर रेखाओं का समुच्चय (ii) अंग्रेज़ी वर्णमाला के अक्षरों का समुच्चय (iii) उन संख्याओं का समुच्चय जो 5 के गुणज हैं (iv) पृथ्वी पर रहने वाले जानवरों का समुच्चय (v) मूल बिंदु (0,0) से होकर जाने वाले वृत्तों का समुच्चय
उत्तर: (i) अपरिमित, (ii) परिमित, (iii) अपरिमित, (iv) परिमित, (v) अपरिमित
समझाइए: रेखाएँ और वृत्त अनंत बनाए जा सकते हैं (अपरिमित), पर वर्णमाला और जानवर गिनती में सीमित हैं (परिमित)।
प्रश्न 4. निम्नलिखित में बतलाइए कि A=B है अथवा नहीं है:
(i) A={a,b,c,d}, B={d,c,b,a} (ii) A={4,8,12,16}, B={8,4,16,18} (iii) A={2,4,6,8,10}, B={x: x सम धन पूर्णांक है और x≤10} (iv) A={x: x संख्या 10 का एक गुणज है}, B={10,15,20,25,30,...}
हल:
(i) दोनों में वही 4 अक्षर, बस क्रम अलग → समान
(ii) A में 12 है B में नहीं; B में 18 है A में नहीं → असमान
(iii) B={2,4,6,8,10} बनता है, A से मेल खाता है → समान
(iv) 15, 10 का गुणज नहीं है पर B में है → असमान
उत्तर: (i) समान, (ii) असमान, (iii) समान, (iv) असमान
समझाइए: दोनों तरफ के अवयव एक-एक करके मिलाओ, एक भी अलग मिले तो असमान।
प्रश्न 5. क्या निम्नलिखित समुच्चय युग्म समान हैं? कारण सहित बताइए।
(i) A={2,3}, B={x: x समीकरण x²+5x+6=0 का एक हल है}
(ii) A={x: x शब्द 'FOLLOW' का एक अक्षर है}, B={y: y शब्द 'WOLF' का एक अक्षर है}
हल:
(i) x²+5x+6=0 → (x+2)(x+3)=0 → x=−2,−3। अतः B={−2,−3}, A={2,3} से मेल नहीं खाता → असमान
(ii) A={F,O,L,W}, B={W,O,L,F} — वही 4 अक्षर → समान
उत्तर: (i) असमान, (ii) समान
समझाइए: पहले समीकरण/शर्त हल करके असली रोस्टर रूप निकालो, फिर compare करो।
प्रश्न 6. नीचे दिए हुए समुच्चयों में से समान समुच्चयों का चयन कीजिए: A={2,4,8,12}, B={1,2,3,4}, C={4,8,12,14}, D={3,1,4,2}, E={−1,1}, F={0,a}, G={1,−1}, H={0,1}
हल: B={1,2,3,4} और D={3,1,4,2} में वही 4 संख्याएँ, बस क्रम अलग। E={−1,1} और G={1,−1} में भी वही अवयव।
उत्तर: B=D तथा E=G
समझाइए: समुच्चय में क्रम मायने नहीं रखता — बस अवयव वही होने चाहिए।
1.6–1.8 उपसमुच्चय, अंतराल, सार्वत्रिक समुच्चय
A⊂B अगर A का हर अवयव B में हो। φ हर समुच्चय का उपसमुच्चय। अंतराल: (a,b)=खुला, [a,b]=बंद
प्रश्नावली 1.3 — सम्पूर्ण हल
प्रश्न 1. रिक्त स्थानों में प्रतीक ⊂ या ⊄ को भरकर सही कथन बनाइए:
(i) {2,3,4}...{1,2,3,4,5} (ii) {a,b,c}...{b,c,d} (iii) {x: x कक्षा XI का विद्यार्थी}...{x: x विद्यालय का विद्यार्थी} (iv) {वृत्त}...{त्रिज्या 1 इकाई का वृत्त} (v) {त्रिभुज}...{आयत} (vi) {समबाहु त्रिभुज}...{त्रिभुज} (vii) {सम प्राकृत संख्या}...{पूर्णांक}
उत्तर: (i) ⊂ (ii) ⊄ (iii) ⊂ (iv) ⊄ (v) ⊄ (vi) ⊂ (vii) ⊂
समझाइए: पहले समुच्चय का हर अवयव दूसरे में जाँचो — सब मिलें तो ⊂, एक भी न मिले तो ⊄।
प्रश्न 2. जाँचिए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं अथवा असत्य हैं:
(i) {a,b}⊄{b,c,a} (ii) {a,e}⊂{x: x अंग्रेज़ी वर्णमाला का स्वर है} (iii) {1,2,3}⊂{1,3,5} (iv) {a}⊂{a,b,c} (v) {a}∈{a,b,c} (vi) {x: x संख्या 6 से कम एक सम प्राकृत संख्या है}⊂{x: x एक प्राकृत संख्या है, जो संख्या 36 को विभाजित करती है}
हल:
(i) {a,b} वास्तव में {b,c,a} का उपसमुच्चय है, इसलिए ⊄ लिखना गलत → असत्य
(ii) a,e दोनों स्वर हैं → सत्य
(iii) 2, दूसरे समुच्चय में नहीं है → असत्य
(iv) a, {a,b,c} में है → सत्य
(v) {a} खुद एक समुच्चय है, {a,b,c} का अवयव नहीं (अवयव तो a,b,c हैं) → असत्य
(vi) {2,4}⊂{1,2,3,4,6,9,12,18,36} → सत्य
उत्तर: (i) असत्य (ii) सत्य (iii) असत्य (iv) सत्य (v) असत्य (vi) सत्य
समझाइए: ∈ और ⊂ में फर्क याद रखो — ∈ अवयव के लिए, ⊂ समुच्चय के अंदर समुच्चय के लिए।
प्रश्न 3. मान लीजिए A = {1, 2, {3,4}, 5}। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही नहीं है और क्यों?
(i) {3,4}⊂A (ii) {3,4}∈A (iii) {{3,4}}⊂A (iv) 1∈A (v) 1⊂A (vi) {1,2,5}⊂A (vii) {1,2,5}∈A (viii) {1,2,3}⊂A (ix) φ∈A (x) φ⊂A (xi) {φ}⊂A
हल: A के 4 अवयव हैं: 1, 2, {3,4} (यह पूरा एक अवयव है), 5।
(i) {3,4} एक अवयव है, ⊂ नहीं ∈ लगेगा → असत्य
(ii) {3,4}∈A सही → सत्य
(iii) {{3,4}} एक अवयव {3,4} वाला उपसमुच्चय है → सत्य
(iv) 1∈A सही → सत्य
(v) "1⊂A" गलत, 1 संख्या है समुच्चय नहीं → असत्य
(vi) 1,2,5 तीनों A में हैं → सत्य
(vii) {1,2,5} पूरा A का अवयव नहीं है → असत्य
(viii) अकेला "3", A का अवयव नहीं (सिर्फ {3,4} जोड़े में) → असत्य
(ix) φ, A का अवयव नहीं है → असत्य
(x) φ हर समुच्चय का उपसमुच्चय होता है → सत्य
(xi) {φ}, A का उपसमुच्चय नहीं (φ, A का अवयव नहीं) → असत्य
उत्तर: (i)असत्य (ii)सत्य (iii)सत्य (iv)सत्य (v)असत्य (vi)सत्य (vii)असत्य (viii)असत्य (ix)असत्य (x)सत्य (xi)असत्य
ज़रूरी समझ: जब समुच्चय के अंदर खुद एक समुच्चय अवयव की तरह हो, तो उसे अलग मत तोड़ो।
प्रश्न 4. निम्नलिखित समुच्चयों के सभी उपसमुच्चय लिखिए:
(i) {a} (ii) {a,b} (iii) {1,2,3} (iv) φ
हल: n अवयव हों तो 2ⁿ उपसमुच्चय बनते हैं।
उत्तर:
(i) φ, {a}
(ii) φ, {a}, {b}, {a,b}
(iii) φ, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}
(iv) φ
समझाइए: हर अवयव को "लो या छोड़ो" के हिसाब से combinations बनाओ (2ⁿ कुल)।
प्रश्न 5. निम्नलिखित को अंतराल रूप में लिखिए:
(i) {x: x∈R, −4
हल: < या > = सिरा शामिल नहीं (गोल कोष्ठक), ≤ या ≥ = सिरा शामिल (वर्ग कोष्ठक)
उत्तर: (i) (−4,6] (ii) (−12,−10) (iii) [0,7) (iv) [3,4]
समझाइए: हर तरफ का चिह्न देखो — < / > तो गोल, ≤ / ≥ तो वर्ग कोष्ठक।
प्रश्न 6. निम्नलिखित अंतरालों को समुच्चय निर्माण रूप में लिखिए:
(i) (−3,0) (ii) [6,12] (iii) (6,12] (iv) [−23,5)
उत्तर:
(i) {x∈R: −3 (ii) {x∈R: 6≤x≤12}
(iii) {x∈R: 6 (iv) {x∈R: −23≤x<5}
समझाइए: यह प्रश्न 5 का उल्टा है — कोष्ठक देखकर < / ≤ चिह्न तय करो।
प्रश्न 7. निम्नलिखित में से प्रत्येक के लिए आप कौन-सा सार्वत्रिक समुच्चय प्रस्तावित करेंगे?
(i) समकोण त्रिभुजों का समुच्चय (ii) समद्विबाहु त्रिभुजों का समुच्चय
उत्तर: (i) व (ii) दोनों के लिए U = सभी त्रिभुजों का समुच्चय
समझाइए: सार्वत्रिक समुच्चय हमेशा वह बड़ी श्रेणी है जिसके अंदर दिया गया समुच्चय एक विशेष प्रकार है।
प्रश्न 8. समुच्चय A={1,3,5}, B={2,4,6} और C={0,2,4,6,8} प्रदत्त हैं। इन तीनों के लिए निम्नलिखित में से कौन सा (से) सार्वत्रिक समुच्चय लिए जा सकते हैं? (i){0,1,2,3,4,5,6} (ii) φ (iii){0,1,2,...,10} (iv){1,2,...,8}
हल: (i) में 8 नहीं है (C का अवयव) → गलत। (ii) रिक्त समुच्चय universal नहीं हो सकता। (iii) में A,B,C तीनों पूर्ण समाहित हैं → सही। (iv) में 0 नहीं है (C का अवयव) → गलत।
उत्तर: केवल (iii) {0,1,2,...,10}
समझाइए: सार्वत्रिक समुच्चय में दिए हुए सभी समुच्चयों के सभी अवयव पूरी तरह समाए होने चाहिए।
1.9–1.10 संक्रियाएँ (Union, Intersection, Difference, Complement)
A∪B = A या B में जो हो | A∩B = दोनों में common | A−B = A में हो, B में न हो | A' = U−A
De Morgan: (A∪B)'=A'∩B', (A∩B)'=A'∪B'
प्रश्नावली 1.4 — सम्पूर्ण हल
प्रश्न 1. निम्नलिखित में से प्रत्येक समुच्चय युग्म का सम्मिलन ज्ञात कीजिए:
(i) X={1,3,5}, Y={1,2,3} (ii) A={a,e,i,o,u}, B={a,b,c} (iii) A={x: x एक प्राकृत संख्या है और 3 का गुणज है}, B={x: x संख्या 6 से कम एक प्राकृत संख्या है} (iv) A={x: x प्राकृत संख्या और 1
हल:
(iii) A={3,6,9,...}, B={1,2,3,4,5} — दोनों मिलाकर, 3 सिर्फ एक बार
(iv) A={2,3,4,5,6}, B={7,8,9} — कोई common नहीं
उत्तर:
(i) {1,2,3,5}
(ii) {a,b,c,e,i,o,u}
(iii) {1,2,3,4,5,6,9,12,15,...}
(iv) {2,3,4,5,6,7,8,9}
(v) {1,2,3}
समझाइए: दोनों की पूरी लिस्ट मिलाओ, common अवयव सिर्फ एक बार लिखो।
प्रश्न 2. मान लीजिए A={a,b}, B={a,b,c}। क्या A⊂B? A∪B ज्ञात कीजिए।
हल: A के दोनों अवयव a,b, B में हैं इसलिए A⊂B है। सम्मिलन में B के सभी अवयव आएँगे क्योंकि A, B में पहले से समाया है।
उत्तर: हाँ, A⊂B है। A∪B={a,b,c}
समझाइए: अगर A⊂B, तो A∪B हमेशा B के बराबर होता है (नियम: यदि A⊂B तो A∪B=B)।
प्रश्न 3. यदि A और B दो ऐसे समुच्चय हैं कि A⊂B, तो A∪B क्या है?
उत्तर: A∪B = B
समझाइए: जब छोटा समुच्चय (A) बड़े (B) के अंदर ही समाया हो, तो मिलाने पर बड़ा समुच्चय ही रह जाता है।
प्रश्न 4. यदि A={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, C={5,6,7,8} और D={7,8,9,10}, तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए: (i) A∪B (ii) A∪C (iii) B∪C (iv) B∪D (v) A∪B∪C (vi) A∪B∪D (vii) B∪C∪D
हल: हर जोड़ी की पूरी लिस्ट मिलाई, common अवयव एक बार लिखे। जैसे A∪B में 3,4 दोनों तरफ हैं इसलिए एक बार।
उत्तर:
(i) {1,2,3,4,5,6} (ii) {1,2,3,4,5,6,7,8} (iii) {3,4,5,6,7,8}
(iv) {3,4,5,6,7,8,9,10} (v) {1,2,3,4,5,6,7,8}
(vi) {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} (vii) {3,4,5,6,7,8,9,10}
समझाइए: कई समुच्चयों को मिलाते समय भी वही नियम — सब की लिस्ट डालो, दोहराव हटाओ।
प्रश्न 5. प्रश्न 1 में दिए प्रत्येक समुच्चय युग्म का सर्वनिष्ठ समुच्चय ज्ञात कीजिए।
उत्तर: (i) {1,3} (ii) {a} (iii) {3} (iv) φ (v) φ
समझाइए: सिर्फ वही अवयव लो जो दोनों समुच्चयों में एक साथ मौजूद हों।
प्रश्न 6. यदि A={3,5,7,9,11}, B={7,9,11,13}, C={11,13,15} और D={15,17}, तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए: (i) A∩B (ii) B∩C (iii) A∩C∩D (iv) A∩C (v) B∩D (vi) A∩(B∪C) (vii) A∩D (viii) A∩(B∪D) (ix) (A∩B)∩(B∪C) (x) (A∪D)∩(B∪C)
हल:
(vi) पहले B∪C={7,9,11,13,15}, फिर A से common → {7,9,11}
(x) पहले A∪D={3,5,7,9,11,15,17}, B∪C={7,9,11,13,15}, फिर दोनों का common → {7,9,11,15}
उत्तर:
(i) {7,9,11} (ii) {11,13} (iii) φ (iv) {11} (v) φ
(vi) {7,9,11} (vii) φ (viii) {7,9,11} (ix) {7,9,11} (x) {7,9,11,15}
समझाइए: कोष्ठक के अंदर वाला हिस्सा पहले हल करो (जैसे गणित में BODMAS)।
प्रश्न 7. यदि A={x: x एक प्राकृत संख्या है}, B={x: x एक सम प्राकृत संख्या है}, C={x: x एक विषम प्राकृत संख्या है}, D={x: x एक अभाज्य संख्या है}, तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए: (i) A∩B (ii) A∩C (iii) A∩D (iv) B∩C (v) B∩D (vi) C∩D
उत्तर: (i) A∩B=B (ii) A∩C=C (iii) A∩D=D (iv) B∩C=φ (v) B∩D={2} (vi) C∩D=D−{2} (सभी विषम अभाज्य संख्याएँ)
समझाइए: B,C,D सभी A के उपसमुच्चय हैं इसलिए A से सर्वनिष्ठ लेने पर वही उपसमुच्चय वापस मिलता है। 2 अकेली सम अभाज्य संख्या है।
प्रश्न 8. निम्नलिखित समुच्चय युग्मों में से कौन से युग्म असंयुक्त हैं?
(i) {1,2,3,4} तथा {x: x प्राकृत संख्या और 4≤x≤6} (ii) {a,e,i,o,u} तथा {c,d,e,f} (iii) {सम पूर्णांक} और {विषम पूर्णांक}
उत्तर: (i) असंयुक्त नहीं (4 उभयनिष्ठ) (ii) असंयुक्त नहीं (e उभयनिष्ठ) (iii) असंयुक्त ✔
समझाइए: एक भी common अवयव मिले तो असंयुक्त नहीं, बिल्कुल न मिले तो असंयुक्त।
प्रश्न 9. यदि A={3,6,9,12,15,18,21}, B={4,8,12,16,20}, C={2,4,6,8,10,12,14,16}, D={5,10,15,20}, तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए: (i)A−B (ii)A−C (iii)A−D (iv)B−A (v)C−A (vi)D−A (vii)B−C (viii)B−D (ix)C−B (x)D−B (xi)C−D (xii)D−C
हल (शॉर्टकट): पहले दोनों का common (∩) निकालो, फिर पहले समुच्चय में से वो हटाओ।
A∩B={12}, A∩C={6,12}, A∩D={15}, B∩C={4,8,12,16}, B∩D={20}, C∩D={10}
उत्तर:
(i) {3,6,9,15,18,21} (ii) {3,9,15,18,21} (iii) {3,6,9,12,18,21}
(iv) {4,8,16,20} (v) {2,4,8,10,14,16} (vi) {5,10,20}
(vii) {20} (viii) {4,8,12,16} (ix) {2,6,10,14}
(x) {5,10,15} (xi) {2,4,6,8,12,14,16} (xii) {5,15,20}
शॉर्टकट तरीका: हर जोड़ी में यही तरीका दोहराओ — common निकालो, पहले वाले में से हटाओ।
प्रश्न 10. यदि X={a,b,c,d} और Y={f,b,d,g}, तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए: (i) X−Y (ii) Y−X (iii) X∩Y
उत्तर: (i) X−Y={a,c} (ii) Y−X={f,g} (iii) X∩Y={b,d}
समझाइए: b,d दोनों में common हैं, बाकी अवयव अपनी-अपनी तरफ अलग रह जाते हैं।
प्रश्न 11. यदि R वास्तविक संख्याओं और Q परिमेय संख्याओं के समुच्चय हैं, तो R−Q क्या होगा?
उत्तर: R−Q = T = अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय (जैसे √2, π)
समझाइए: बड़े में से छोटा हटाने पर "बड़े में है पर छोटे में नहीं" वाला हिस्सा बचता है।
प्रश्न 12. बताइए कि निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक सत्य है या असत्य? अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए:
(i) {2,3,4,5} तथा {3,6} असंयुक्त समुच्चय हैं। (ii) {a,e,i,o,u} तथा {a,b,c,d} असंयुक्त समुच्चय हैं। (iii) {2,6,10,14} तथा {3,7,11,15} असंयुक्त समुच्चय हैं। (iv) {2,6,10} तथा {3,7,11} असंयुक्त समुच्चय हैं।
उत्तर: (i) असत्य (3 common) (ii) असत्य (a common) (iii) सत्य (iv) सत्य
समझाइए: एक भी common अवयव मिले तो "असंयुक्त नहीं"।
प्रश्नावली 1.5 — सम्पूर्ण हल
प्रश्न 1. मान लीजिए U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A={1,2,3,4}, B={2,4,6,8}, C={3,4,5,6}, तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए: (i)A' (ii)B' (iii)(A∪C)' (iv)(A∪B)' (v)(A')' (vi)(B−C)'
हल:
(iii) A∪C={1,2,3,4,5,6} → पूरक={7,8,9}
(vi) B−C={2,8} → पूरक={1,3,4,5,6,7,9}
उत्तर: (i){5,6,7,8,9} (ii){1,3,5,7,9} (iii){7,8,9} (iv){5,7,9} (v)A={1,2,3,4} (vi){1,3,4,5,6,7,9}
समझाइए: U की पूरी लिस्ट में से दिए समुच्चय के अवयव हटाओ, जो बचा वो पूरक है।
प्रश्न 2. यदि U={a,b,c,d,e,f,g,h}, तो निम्नलिखित समुच्चयों के पूरक ज्ञात कीजिए: (i)A={a,b,c} (ii)B={d,e,f,g} (iii)C={a,c,e,g} (iv)D={f,g,h,a}
उत्तर: (i)A'={d,e,f,g,h} (ii)B'={a,b,c,h} (iii)C'={b,d,f,h} (iv)D'={b,c,d,e}
समझाइए: U={a से h} में से हर समुच्चय के अक्षर हटाकर बाकी बचे अक्षर पूरक हैं।
प्रश्न 3. प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को सार्वत्रिक समुच्चय मानते हुए, निम्नलिखित समुच्चयों के पूरक लिखिए:
(i) सम प्राकृत संख्या (ii) विषम प्राकृत संख्या (iii) 3 का धन गुणज (iv) अभाज्य संख्या (v) 3 और 5 से विभाजित होने वाली संख्या (vi) पूर्ण वर्ग संख्या (vii) पूर्ण घन संख्या (viii) x+5=8 (ix) 2x+5=9 (x) x≥7 (xi) x∈N और 2x+1>10
उत्तर: (i) विषम प्राकृत संख्याएँ (ii) सम प्राकृत संख्याएँ (iii) 3 का गुणज नहीं (iv) अभाज्य नहीं (v) 15 से विभाज्य नहीं (vi) पूर्ण वर्ग नहीं (vii) पूर्ण घन नहीं (viii){x∈N:x≠3} (ix){x∈N:x≠2} (x){1,2,3,4,5,6} (xi){1,2,3,4}
समझाइए: पहले शर्त हल करो (जैसे x+5=8 से x=3), फिर पूरक में "बराबर नहीं" या "उल्टी शर्त" लिखो।
प्रश्न 4. यदि U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A={2,4,6,8} और B={2,3,5,7}, तो सत्यापित कीजिए कि: (i) (A∪B)'=A'∩B' (ii) (A∩B)'=A'∪B'
हल: A'={1,3,5,7,9}, B'={1,4,6,8,9}
(i) A∪B={2,3,4,5,6,7,8} → (A∪B)'={1,9}। A'∩B'={1,9}। LHS=RHS ✔
(ii) A∩B={2} → (A∩B)'={1,3,4,5,6,7,8,9}। A'∪B'={1,3,4,5,6,7,8,9}। LHS=RHS ✔
निष्कर्ष: दोनों नियम सत्यापित हुए।
समझाइए: दोनों तरफ (LHS, RHS) अलग-अलग निकालो, दोनों बराबर आएं तो सत्यापित।
प्रश्न 5. निम्नलिखित में से प्रत्येक के लिए उपर्युक्त वेन आरेख खींचिए: (i)(A∪B)' (ii)A'∩B' (iii)(A∩B)' (iv)A'∪B'
उत्तर: (i) और (ii) एक ही क्षेत्र दिखाते हैं (दोनों वृत्तों के बाहर का भाग)। (iii) और (iv) भी एक जैसा क्षेत्र दिखाते हैं (सर्वनिष्ठ को छोड़कर बाकी सब)।
समझाइए: दो वृत्त एक-दूसरे को काटते हुए आयत (U) के अंदर बनाओ, फिर पूछा गया भाग छायांकित करो।
प्रश्न 6. मान लीजिए कि किसी समतल में स्थित सभी त्रिभुजों का समुच्चय सार्वत्रिक समुच्चय U है। यदि A उन सभी त्रिभुजों का समुच्चय है जिनमें कम से कम एक कोण 60° से भिन्न है, तो A' क्या है?
हल: A' में वो त्रिभुज जो A में नहीं — यानी जिनका कोई भी कोण 60° से अलग न हो, मतलब सभी कोण बिल्कुल 60° के हों।
उत्तर: A' = समबाहु त्रिभुजों का समुच्चय
समझाइए: "कम से कम एक अलग" का उल्टा है "कोई भी अलग नहीं (सब बराबर)"।
प्रश्न 7. निम्नलिखित कथनों को सत्य बनाने के लिए रिक्त स्थानों को भरिए: (i) A∪A'=... (ii) φ'∩A=... (iii) A∩A'=... (iv) U'∩A=...
उत्तर: (i) U (ii) A (iii) φ (iv) φ
समझाइए: φ'=U और U'=φ याद रखो, फिर सीधे नियम लगाओ।
अध्याय 1 पर विविध प्रश्नावली — सम्पूर्ण हल
प्रश्न 1. निम्नलिखित समुच्चयों में से कौन किसका उपसमुच्चय है, इसका निर्णय कीजिए: A={x∈R: x²−8x+12=0}, B={2,4,6}, C={2,4,6,8,...}, D={6}
हल: x²−8x+12=0 → (x−2)(x−6)=0 → x=2,6। अतः A={2,6}। तुलना करने पर: A के दोनों अवयव B,C में हैं; B के सभी अवयव C में हैं; D={6} सभी में है।
उत्तर: A⊂B, A⊂C, B⊂C, D⊂A, D⊂B, D⊂C
समझाइए: पहले समीकरण हल करके A निकालो, फिर हर समुच्चय compare करो।
प्रश्न 2. ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित में से प्रत्येक कथन सत्य है या असत्य है। यदि सत्य है, तो सिद्ध कीजिए। यदि असत्य है, तो एक उदाहरण दीजिए:
(i) यदि x∈A तथा A∈B, तो x∈B (ii) यदि A⊂B तथा B∈C, तो A∈C (iii) यदि A⊂B तथा B⊂C, तो A⊂C (iv) यदि A⊄B तथा B⊄C, तो A⊄C (v) यदि x∈A तथा A⊄B, तो x∈B (vi) यदि A⊂B तथा x∉B, तो x∉A
हल:
(i) असत्य। उदाहरण: A={1,2}, B={{1,2},3}। x=1∈A, A∈B, परंतु 1∉B
(ii) असत्य। उदाहरण: A={1}, B={1,2}, C={{1,2},3}। A⊂B, B∈C परंतु A∉C
(iii) सत्य — A का हर अवयव B में, B का हर अवयव C में, तो A का हर अवयव C में भी होगा (chain बनती है)
(iv) असत्य। उदाहरण: A={2},B={1,3},C={2,3}। A⊄B, B⊄C, परंतु A⊂C
(v) असत्य। उदाहरण: A={1,2},B={1,3}। x=2∈A, A⊄B, परंतु x∉B
(vi) सत्य (उपसमुच्चय की परिभाषा का विलोम कथन)
उत्तर: (i)असत्य (ii)असत्य (iii)सत्य (iv)असत्य (v)असत्य (vi)सत्य
समझाइए: अगर statement गलत लगे, तो एक counter-example बनाओ जो नियम तोड़े। एक ही उदाहरण काफी है।
प्रश्न 3. मान लीजिए A, B, और C ऐसे समुच्चय हैं कि A∪B=A∪C तथा A∩B=A∩C, तो दर्शाइए कि B=C.
हल: माना x∈B। यदि x∈A हो तो x∈A∩B=A∩C ⇒ x∈C। यदि x∉A, तो x∈A∪B=A∪C ⇒ x∈C (क्योंकि x∉A)। दोनों स्थितियों में x∈C। अतः B⊂C। इसी प्रकार C⊂B।
निष्कर्ष: B⊂C तथा C⊂B ⇒ B=C ∎
समझाइए: दोनों तरफ (B⊂C और C⊂B) सिद्ध करके "बराबर" साबित करते हैं — यह common technique है।
प्रश्न 4. दिखाइए कि निम्नलिखित चार प्रतिबंध तुल्य हैं: (i)A⊂B (ii)A−B=φ (iii)A∪B=B (iv)A∩B=A
हल:
(i)⇒(ii): A⊂B का अर्थ A का हर अवयव B में, तो A−B में कुछ नहीं बचेगा
(ii)⇒(iii): A−B=φ माने A का हर अवयव B में, तो A∪B=B
(iii)⇒(iv): A∪B=B माने A⊂B, तो A∩B=A
(iv)⇒(i): A∩B=A माने A का हर अवयव B में भी है ⇒ A⊂B
निष्कर्ष: चारों प्रतिबंध एक-दूसरे को सिद्ध करते हैं ∎
समझाइए: चक्र (cycle) में सिद्ध करते हैं: 1⇒2⇒3⇒4⇒１, इससे सभी आपस में तुल्य साबित हो जाते हैं।
प्रश्न 5. दिखाइए कि यदि A⊂B, तो C−B⊂C−A.
हल: माना x∈C−B ⇒ x∈C तथा x∉B। चूँकि A⊂B, यदि x∈A होता तो x∈B होता (विरोधाभास)। अतः x∉A। तो x∈C तथा x∉A ⇒ x∈C−A।
निष्कर्ष: C−B⊂C−A ∎
समझाइए: विरोधाभास विधि (contradiction) का प्रयोग किया — मान लिया कि x∈A है, फिर दिखाया कि यह गलत है।
प्रश्न 6. किन्हीं दो समुच्चयों A तथा B के लिए सिद्ध कीजिए कि: A=(A∩B)∪(A−B) तथा A∪(B−A)=(A∪B)
हल:
भाग 1: (A∩B)∪(A−B) = {x:x∈A,x∈B} ∪ {x:x∈A,x∉B} = A के सभी अवयव (चाहे B में हों या न हों) = A
भाग 2: A∪(B−A) = A ∪ {x:x∈B,x∉A} = A के सभी अवयव + B के वे अवयव जो A में नहीं = A∪B
निष्कर्ष: दोनों भाग सिद्ध हुए ∎
समझाइए: A को दो हिस्सों में तोड़ा — जो B में भी है, और जो B में नहीं है — दोनों मिलाकर वापस पूरा A बनता है।
प्रश्न 7. समुच्चयों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि: (i) A∪(A∩B)=A (ii) A∩(A∪B)=A
हल:
(i) A∩B⊂A सदैव सत्य है। अतः A∪(A∩B)⊂A∪A=A। और A⊂A∪(A∩B) भी सदैव सत्य है। अतः A∪(A∩B)=A
(ii) A⊂A∪B, अतः A∩(A∪B)⊃A∩A=A, तथा A∩(A∪B)⊂A। अतः A∩(A∪B)=A
निष्कर्ष: दोनों सिद्ध हुए ∎ (इन्हें अवशोषण नियम कहते हैं)
समझाइए: दोनों तरफ (⊂ और ⊃) दिखाकर बराबरी साबित करते हैं।
प्रश्न 8. दिखलाइए कि A∩B=A∩C का तात्पर्य B=C आवश्यक रूप से नहीं होता है।
हल: प्रति-उदाहरण: A=φ, B={1}, C={2}। यहाँ A∩B=φ=A∩C, परंतु B≠C।
निष्कर्ष: कथन असत्य सिद्ध होता है ∎
समझाइए: A को खाली (φ) रखने पर A∩B हमेशा φ रहेगा, चाहे B कुछ भी हो — इसी वजह से counter-example आसानी से मिल गया।
प्रश्न 9. मान लीजिए A और B समुच्चय हैं। यदि किसी समुच्चय X के लिए A∩X=B∩X=φ तथा A∪X=B∪X, तो सिद्ध कीजिए A=B (संकेत: A=A∩(A∪X), B=B∩(B∪X) और वितरण नियम का प्रयोग कीजिए)
हल:
A = A∩(A∪X) = A∩(B∪X) [क्योंकि A∪X=B∪X]
= (A∩B)∪(A∩X) [वितरण नियम] = (A∩B)∪φ = A∩B ...(1)
इसी प्रकार: B = B∩(B∪X) = B∩(A∪X) = (A∩B)∪(B∩X) = (A∩B)∪φ = A∩B ...(2)
निष्कर्ष: (1),(2) से A = A∩B = B ⇒ A=B ∎
कदम-दर-कदम सोच: A को A∩(A∪X) की तरह लिखना एक ट्रिक है जो हमेशा सच होती है। फिर दी गई शर्तें डालते जाओ जब तक A और B दोनों एक ही रूप (A∩B) में न आ जाएं।
प्रश्न 10. ऐसे समुच्चय A, B और C ज्ञात कीजिए ताकि A∩B, B∩C तथा A∩C आरिक्त समुच्चय हों और A∩B∩C=φ.
हल: माना A={1,2}, B={2,3}, C={1,3}। जाँच: A∩B={2} (भरा है), B∩C={3} (भरा है), A∩C={1} (भरा है)। अब A∩B∩C देखें — कोई भी संख्या तीनों में एक साथ नहीं है।
उत्तर: A={1,2}, B={2,3}, C={1,3} और A∩B∩C=φ ✔
सोचने का तरीका: त्रिकोण जैसा सोचो — हर भुजा पर एक साझा बिंदु हो, पर बीच में तीनों मिलते हुए कोई बिंदु न हो।
✦ अध्याय सारांश ✦
1. समुच्चय = सुपरिभाषित संग्रह • 2. रिक्त समुच्चय = φ • 3. परिमित/अपरिमित = गिनती हो सकती/नहीं • 4. A=B जब समान अवयव हों • 5. A⊂B जब A का हर अवयव B में हो • 6. A∪B=या वाली, A∩B=और वाली • 7. A−B = A में हो, B में न हो • 8. De Morgan: (A∪B)'=A'∩B', (A∩B)'=A'∪B'
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