NCERT कक्षा 10 गणित अध्याय 3 — दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म: ग्राफीय, प्रतिस्थापन एवं विलोपन विधि सहित सम्पूर्ण हल

NCERT कक्षा 10 गणित का अध्याय 3 — दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म बोर्ड परीक्षा में सर्वाधिक अंक वाले अध्यायों में से एक है। इसमें ग्राफीय विधि, प्रतिस्थापन विधि (Substitution) और विलोपन विधि (Elimination) — तीन विधियों से समीकरण हल करना सिखाया जाता है। इस पृष्ठ पर अभ्यास 3.1, 3.2 और 3.3 के सभी प्रश्नों का चरणबद्ध हल हिंदी में दिया गया है।

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इस अध्याय को कैसे पढ़ें? पहले 3.2 (अनुकूल / असंगत की पहचान — अनुपात विधि) समझें। फिर अभ्यास 3.1 (ग्राफीय) करें। उसके बाद प्रतिस्थापन (3.2) और विलोपन (3.3) विधि सीखें। शब्द समस्याओं (Word Problems) में पहले माना (Let) करें, फिर समीकरण बनाएं।

3.2 ग्राफीय विधि — रेखाओं की तीन स्थितियाँ और अनुपात परीक्षण

दो रैखिक समीकरण a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 को हल करने के लिए पहले अनुपात a₁/a₂, b₁/b₂, c₁/c₂ की तुलना करें:

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अभ्यास 3.1 — सम्पूर्ण हल

प्रश्न 1: निम्नलिखित समस्याओं के रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और ग्राफीय विधि से हल कीजिए

(i) कक्षा X के 10 विद्यार्थियों ने गणित प्रश्नोत्तरी में भाग लिया। लड़कियों की संख्या लड़कों से 4 अधिक है।

माना लड़कों की संख्या = x, लड़कियों की संख्या = y

x + y = 10    ...(1)

y − x = 4    ...(2)

ग्राफ के लिए बिंदु-तालिका:

दोनों रेखाएं बिंदु (3, 7) पर काटती हैं।

अतः लड़के = 3, लड़कियाँ = 7

(ii) 5 पेंसिल और 7 कलम का मूल्य ₹50 है तथा 7 पेंसिल और 5 कलम का मूल्य ₹46 है।

माना एक पेंसिल का मूल्य = x, एक कलम का मूल्य = y

5x + 7y = 50    ...(1)

7x + 5y = 46    ...(2)

दोनों रेखाएं बिंदु (3, 5) पर काटती हैं।

अतः पेंसिल = ₹3, कलम = ₹5

प्रश्न 2: a₁/a₂, b₁/b₂, c₁/c₂ अनुपातों की तुलना करके बताइए कि रेखाएं प्रतिच्छेदी, समांतर या संपाती हैं

(i) 5x − 4y + 8 = 0 और 7x + 6y − 9 = 0

a₁/a₂ = 5/7    b₁/b₂ = −4/6 = −2/3

5/7 ≠ −2/3 → a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ → प्रतिच्छेदी रेखाएं (एकमेव हल)

(ii) 9x + 3y + 12 = 0 और 18x + 6y + 24 = 0

a₁/a₂ = 9/18 = 1/2    b₁/b₂ = 3/6 = 1/2    c₁/c₂ = 12/24 = 1/2

a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ → संपाती रेखाएं (अनंत हल)

(iii) 6x − 3y + 10 = 0 और 2x − y + 9 = 0

a₁/a₂ = 6/2 = 3    b₁/b₂ = −3/−1 = 3    c₁/c₂ = 10/9

a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ → समांतर रेखाएं (कोई हल नहीं)

प्रश्न 3: बताइए कि निम्नलिखित रैखिक समीकरण-युग्म संगत हैं या असंगत

(i) 3x + 2y = 5 और 2x − 3y = 7

→ 3x + 2y − 5 = 0 और 2x − 3y − 7 = 0

a₁/a₂ = 3/2    b₁/b₂ = 2/−3 = −2/3

3/2 ≠ −2/3 → संगत (एकमेव हल)

(ii) 2x − 3y = 8 और 4x − 6y = 9

→ 2x − 3y − 8 = 0 और 4x − 6y − 9 = 0

a₁/a₂ = 2/4 = 1/2    b₁/b₂ = −3/−6 = 1/2    c₁/c₂ = −8/−9 = 8/9

a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ → असंगत (कोई हल नहीं)

(iii) (3/2)x + (5/3)y = 7 और 9x − 10y = 14

→ गुणा करके: 9x + 10y − 42 = 0 और 9x − 10y − 14 = 0

a₁/a₂ = 9/9 = 1    b₁/b₂ = 10/−10 = −1

1 ≠ −1 → संगत (एकमेव हल)

(iv) 5x − 3y = 11 और −10x + 6y = −22

→ 5x − 3y − 11 = 0 और −10x + 6y + 22 = 0

a₁/a₂ = 5/−10 = −1/2    b₁/b₂ = −3/6 = −1/2    c₁/c₂ = −11/22 = −1/2

a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ → संगत (आश्रित — अनंत हल)

(v) (4/3)x + 2y = 8 और 2x + 3y = 12

→ 4x + 6y − 24 = 0 और 2x + 3y − 12 = 0

a₁/a₂ = 4/2 = 2    b₁/b₂ = 6/3 = 2    c₁/c₂ = −24/−12 = 2

a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ → संगत (आश्रित — अनंत हल)

प्रश्न 4: संगत / असंगत बताइए, संगत होने पर ग्राफीय हल दीजिए

(i) x + y = 5 और 2x + 2y = 10

a₁/a₂ = 1/2, b₁/b₂ = 1/2, c₁/c₂ = −5/−10 = 1/2 → सभी बराबर → संगत (अनंत हल) — दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं।

(ii) x − y = 8 और 3x − 3y = 16

→ x − y − 8 = 0 और 3x − 3y − 16 = 0

a₁/a₂ = 1/3, b₁/b₂ = −1/−3 = 1/3, c₁/c₂ = −8/−16 = 1/2

1/3 = 1/3 ≠ 1/2 → असंगत (कोई हल नहीं) — समांतर रेखाएं।

(iii) 2x + y − 6 = 0 और 4x − 2y − 4 = 0

a₁/a₂ = 2/4 = 1/2, b₁/b₂ = 1/−2 = −1/2 → 1/2 ≠ −1/2 → संगत (एकमेव हल)

बिंदु-तालिका: 2x + y = 6 → (0,6), (3,0); 4x − 2y = 4 → 2x − y = 2 → (0,−2), (1,0)

जोड़ने पर: 2x+y=6 और 2x−y=2 → 4x=8 → x=2, y=2

हल: x = 2, y = 2 → बिंदु (2, 2)

(iv) 2x − 2y − 2 = 0 और 4x − 4y − 5 = 0

a₁/a₂ = 2/4 = 1/2, b₁/b₂ = −2/−4 = 1/2, c₁/c₂ = −2/−5 = 2/5

1/2 = 1/2 ≠ 2/5 → असंगत (कोई हल नहीं) — समांतर रेखाएं।

प्रश्न 5: एक आयताकार बाग की लंबाई चौड़ाई से 4 मीटर अधिक है। अर्ध-परिमाप 36 मीटर है। विमाएं ज्ञात करें।

माना लंबाई = l, चौड़ाई = b

l − b = 4    ...(1)

l + b = 36    ...(2) (अर्ध-परिमाप = l + b)

(1) + (2) → 2l = 40 → l = 20 मी

b = 36 − 20 = 16 मी

लंबाई = 20 मीटर, चौड़ाई = 16 मीटर

प्रश्न 6: 2x + 3y − 8 = 0 के साथ ऐसा समीकरण लिखें कि युग्म —

(i) प्रतिच्छेदी रेखाएं बने: a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ होना चाहिए।

उदाहरण: x + y − 4 = 0 (यहाँ 2/1 ≠ 3/1) ✓

(ii) समांतर रेखाएं बने: a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ होना चाहिए।

उदाहरण: 2x + 3y − 4 = 0 (यहाँ 2/2 = 3/3 = 1, किंतु −8/−4 = 2 ≠ 1) ✓

(iii) संपाती रेखाएं बने: a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ होना चाहिए।

उदाहरण: 4x + 6y − 16 = 0 (यहाँ 2/4 = 3/6 = −8/−16 = 1/2) ✓

प्रश्न 7: x − y + 1 = 0 और 3x + 2y − 12 = 0 के ग्राफ खींचें; त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करें

समीकरण 1: x − y + 1 = 0 → y = x + 1

x-अक्ष पर (y=0): x = −1 → बिंदु (−1, 0)

समीकरण 2: 3x + 2y − 12 = 0 → y = (12−3x)/2

x-अक्ष पर (y=0): x = 4 → बिंदु (4, 0)

दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद-बिंदु: x − y = −1 ... (1); 3x + 2y = 12 ... (2)

(1) × 2: 2x − 2y = −2 → जोड़ें (2): 5x = 10 → x = 2, y = 3 → बिंदु (2, 3)

त्रिभुज के शीर्ष: (−1, 0), (4, 0) और (2, 3)

3.3 प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method) — तीन चरण

चरण 1: किसी एक समीकरण से एक चर का मान दूसरे चर के पदों में लिखें।

चरण 2: इस मान को दूसरे समीकरण में रखें — एक चर का समीकरण बनेगा।

चरण 3: प्राप्त मान को चरण 1 के समीकरण में रखकर दूसरे चर का मान निकालें।

विशेष: यदि Step 2 में सत्य कथन (जैसे 18=18) आए → अनंत हल। यदि असत्य (जैसे −4=0) आए → कोई हल नहीं।

अभ्यास 3.2 — सम्पूर्ण हल (प्रतिस्थापन विधि)

प्रश्न 1: निम्नलिखित रैखिक समीकरण-युग्मों को प्रतिस्थापन विधि से हल करें

(i) x + y = 14 और x − y = 4

x − y = 4 → x = y + 4    ...(3)

समी.(1) में रखें: (y+4) + y = 14 → 2y = 10 → y = 5

x = 5 + 4 = 9

हल: x = 9, y = 5

(ii) s − t = 3 और s/3 + t/2 = 6

s = t + 3    ...(3)

समी.(2) में: (t+3)/3 + t/2 = 6 → 2(t+3) + 3t = 36 → 5t = 30 → t = 6

s = 6 + 3 = 9

हल: s = 9, t = 6

(iii) 3x − y = 3 और 9x − 3y = 9

3x − y = 3 → y = 3x − 3

समी.(2) में: 9x − 3(3x−3) = 9 → 9x − 9x + 9 = 9 → 9 = 9 (सत्य)

अनंत हल — दोनों समीकरण आश्रित हैं।

(iv) 0.2x + 0.3y = 1.3 और 0.4x + 0.5y = 2.3

×10: 2x + 3y = 13 ... (1); 4x + 5y = 23 ... (2)

समी.(1) से: x = (13−3y)/2

समी.(2) में: 4·(13−3y)/2 + 5y = 23 → 2(13−3y) + 5y = 23 → 26 − 6y + 5y = 23 → y = 3

x = (13−9)/2 = 2

हल: x = 2, y = 3

(v) √2 x + √3 y = 0 और √3 x − √8 y = 0

समी.(1) से: x = −√3 y / √2

समी.(2) में: √3·(−√3 y/√2) − √8 y = 0 → −3y/√2 − 2√2 y = 0

y(−3/√2 − 2√2) = 0 → यहाँ गुणांक ≠ 0, अतः y = 0 और x = 0

हल: x = 0, y = 0

(vi) 3x/2 − 5y/3 = −2 और x/3 + y/2 = 13/6

×6: 9x − 10y = −12 ... (1); 2x + 3y = 13 ... (2)

समी.(2) से: x = (13−3y)/2

समी.(1) में: 9·(13−3y)/2 − 10y = −12 → (117−27y)/2 − 10y = −12

117 − 27y − 20y = −24 → −47y = −141 → y = 3

x = (13−9)/2 = 2

हल: x = 2, y = 3

प्रश्न 2: 2x + 3y = 11 और 2x − 4y = −24 हल करें; m का मान ज्ञात करें जहाँ y = mx + 3

समी.(1) से: x = (11−3y)/2

समी.(2) में: 2·(11−3y)/2 − 4y = −24 → 11−3y−4y = −24 → −7y = −35 → y = 5

x = (11−15)/2 = −2

y = mx + 3 में रखें: 5 = m(−2) + 3 → 2 = −2m → m = −1

प्रश्न 3: समस्याओं से समीकरण बनाएं और प्रतिस्थापन विधि से हल करें

(i) दो संख्याओं का अंतर 26 है और एक संख्या दूसरी की तीन गुनी है।

माना बड़ी संख्या = x, छोटी = y

x − y = 26    ...(1)    x = 3y    ...(2)

(2) को (1) में: 3y − y = 26 → y = 13, x = 39

संख्याएं: 39 और 13

(ii) दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे से 18° अधिक है।

x + y = 180    ...(1)    x − y = 18    ...(2)

(2) से: x = y + 18 → (y+18) + y = 180 → y = 81°, x = 99°

कोण: 99° और 81°

(iii) 7 बल्ले + 6 गेंद = ₹3800 और 3 बल्ले + 5 गेंद = ₹1750

7x + 6y = 3800 ...(1)    3x + 5y = 1750 ...(2)

(2) से: x = (1750−5y)/3

(1) में: 7(1750−5y)/3 + 6y = 3800 → 12250 − 35y + 18y = 11400 → −17y = −850 → y = 50

x = (1750−250)/3 = 500

बल्ला = ₹500, गेंद = ₹50

(iv) टैक्सी: 10 km = ₹105, 15 km = ₹155। 25 km का शुल्क?

माना स्थिर शुल्क = x, प्रति km = y

x + 10y = 105 ...(1)    x + 15y = 155 ...(2)

(1) से: x = 105 − 10y → (2) में: (105−10y) + 15y = 155 → 5y = 50 → y = 10, x = 5

25 km का शुल्क = 5 + 25×10 = 5 + 250 = ₹255

(v) भिन्न: अंश व हर में 2 जोड़ने पर 9/11; दोनों में 3 जोड़ने पर 5/6

माना भिन्न = p/q

(p+2)/(q+2) = 9/11 → 11p − 9q = −4 ...(1)

(p+3)/(q+3) = 5/6 → 6p − 5q = −3 ...(2)

(2) से: p = (5q−3)/6 → (1) में: 11(5q−3)/6 − 9q = −4 → 55q − 33 − 54q = −24 → q = 9

p = (45−3)/6 = 7

भिन्न = 7/9

(vi) जैकब की आयु (s) और पुत्र की आयु (t): 5 वर्ष बाद s+5 = 3(t+5); 5 वर्ष पहले s−5 = 7(t−5)

s − 3t = 10 ...(1)    s − 7t = −30 ...(2)

(1) से: s = 3t + 10 → (2) में: (3t+10) − 7t = −30 → −4t = −40 → t = 10

s = 30 + 10 = 40

जैकब = 40 वर्ष, पुत्र = 10 वर्ष

3.3.2 विलोपन विधि (Elimination Method) — चार चरण

चरण 1: दोनों समीकरणों को उचित संख्या से गुणा करें ताकि एक चर के गुणांक बराबर हों।

चरण 2: दोनों समीकरण जोड़ें या घटाएं — एक चर समाप्त हो जाएगा।

चरण 3: शेष एक-चर के समीकरण को हल करें।

चरण 4: प्राप्त मान को किसी भी मूल समीकरण में रखकर दूसरे चर का मान निकालें।

अभ्यास 3.3 — सम्पूर्ण हल (विलोपन विधि + प्रतिस्थापन विधि)

प्रश्न 1: विलोपन और प्रतिस्थापन दोनों विधियों से हल करें

(i) x + y = 5 और 2x − 3y = 4

विलोपन: समी.(1) × 3 → 3x + 3y = 15; जोड़ें (2): 5x = 19 → x = 19/5

y = 5 − 19/5 = 6/5

प्रतिस्थापन: x = 5−y → 2(5−y)−3y=4 → −5y=−6 → y=6/5, x=19/5 ✓

हल: x = 19/5, y = 6/5

(ii) 3x + 4y = 10 और 2x − 2y = 2

विलोपन: समी.(2) × 2 → 4x − 4y = 4; जोड़ें (1): 7x = 14 → x = 2

2(2) − 2y = 2 → y = 1

प्रतिस्थापन: x − y = 1 → x = y+1 → 3(y+1)+4y=10 → 7y=7 → y=1, x=2 ✓

हल: x = 2, y = 1

(iii) 3x − 5y − 4 = 0 और 9x = 2y + 7 (अर्थात् 9x − 2y − 7 = 0)

विलोपन: समी.(1) × 3 → 9x − 15y − 12 = 0; घटाएं (2): −13y − 5 = 0 → y = −5/13

3x = 4 + 5(−5/13) = 52/13 − 25/13 = 27/13 → x = 9/13

प्रतिस्थापन: 3x − 5y = 4 → x = (4+5y)/3 → 9(4+5y)/3 − 2y = 7 → 13y = −5 → y = −5/13 ✓

हल: x = 9/13, y = −5/13

(iv) x/2 + 2y/3 = −1 और x − y/3 = 3

×6: 3x + 4y = −6 ...(1); ×3: 3x − y = 9 ...(2)

विलोपन: (1) − (2): 5y = −15 → y = −3

3x = 9 + (−3) = 6 → x = 2

प्रतिस्थापन: x = 3 + y/3 → 3(3+y/3)+4y = −6 → 9+y+4y = −6 → y = −3, x = 2 ✓

हल: x = 2, y = −3

प्रश्न 2: समस्याओं से समीकरण बनाएं और विलोपन विधि से हल करें

(i) भिन्न: अंश में 1 जोड़ें और हर से 1 घटाएं तो 1; हर में 1 जोड़ें तो 1/2

माना भिन्न = p/q

(p+1)/(q−1) = 1 → p − q = −2 ...(1)

p/(q+1) = 1/2 → 2p − q = 1 ...(2)

विलोपन: (2) − (1): p = 3 → q = 5

भिन्न = 3/5

सत्यापन: (3+1)/(5−1) = 4/4 = 1 ✓; 3/(5+1) = 3/6 = 1/2 ✓

(ii) नूरी और सोनू की आयु: 5 वर्ष पहले नूरी = 3 × सोनू; 10 वर्ष बाद नूरी = 2 × सोनू

माना नूरी = x, सोनू = y

x − 5 = 3(y−5) → x − 3y = −10 ...(1)

x + 10 = 2(y+10) → x − 2y = 10 ...(2)

विलोपन: (2) − (1): y = 20 → x = 2(20)+10 = 50

नूरी = 50 वर्ष, सोनू = 20 वर्ष

(iii) दो अंकों की संख्या: अंकों का योग 9; उस संख्या का 9 गुना = उलटी संख्या का 2 गुना

माना दहाई का अंक = x, इकाई का अंक = y

x + y = 9 ...(1)

9(10x + y) = 2(10y + x) → 90x + 9y = 20y + 2x → 88x = 11y → y = 8x ...(2)

(2) को (1) में: x + 8x = 9 → x = 1, y = 8

संख्या = 18

सत्यापन: 9 × 18 = 162 = 2 × 81 ✓

(iv) मीना ने ₹50 और ₹100 के कुल 25 नोट लेकर ₹2000 निकाले

माना ₹50 के नोट = x, ₹100 के नोट = y

x + y = 25 ...(1)    50x + 100y = 2000 → x + 2y = 40 ...(2)

विलोपन: (2) − (1): y = 15 → x = 10

₹50 के नोट = 10, ₹100 के नोट = 15

(v) पुस्तकालय: प्रथम 3 दिन स्थिर शुल्क, फिर प्रति दिन अतिरिक्त। सरिता: 7 दिन = ₹27; सुसी: 5 दिन = ₹21

माना स्थिर शुल्क = x, प्रतिदिन = y

x + 4y = 27 ...(1) (7 दिन: 3 + 4 अतिरिक्त)

x + 2y = 21 ...(2) (5 दिन: 3 + 2 अतिरिक्त)

विलोपन: (1) − (2): 2y = 6 → y = 3 → x = 15

स्थिर शुल्क = ₹15, प्रतिदिन अतिरिक्त = ₹3

Aapbiti News Experts ki Salah

• ग्राफीय विधि में हमेशा दो-दो बिंदु निकालें, ग्राफ साफ खींचें और प्रतिच्छेद-बिंदु स्पष्ट लिखें। बोर्ड में ग्राफ के लिए आधे अंक निर्धारित हैं।
• अनुपात परीक्षण (Q2, Q3, Q4) में तीनों अनुपात लिखकर उनकी तुलना करें — "अतः रेखाएं ... हैं" जरूर लिखें।
• प्रतिस्थापन विधि में जब 18=18 जैसा सत्य कथन आए → "अनंत हल — आश्रित युग्म" लिखें। −4=0 जैसा असत्य → "असंगत — कोई हल नहीं" लिखें।
• शब्द समस्याओं में "माना" वाला चरण लिखना अनिवार्य है — बिना "माना" के अंक कट सकते हैं।
• विलोपन विधि तब उपयोग करें जब दोनों समीकरणों के गुणांक सुविधाजनक गुणनखंड वाले हों।
• Q1 (Ex 3.3) में दोनों विधियों से हल लिखना है — एक विधि छोड़ने पर अंक नहीं मिलेंगे।

अध्याय 3 सारांश — त्वरित दोहराई

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQs)

प्रश्न: आश्रित (Dependent) और असंगत (Inconsistent) में क्या अंतर है?

आश्रित युग्म में दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं (संपाती रेखाएं) — अनंत उभयनिष्ठ हल होते हैं — अनुपात a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ होता है। असंगत युग्म में दोनों रेखाएं समांतर होती हैं — कोई हल नहीं — a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ होता है।

प्रश्न: ग्राफीय विधि और बीजगणितीय विधि में कौन-सी बेहतर है?

यदि हल पूर्णांक हो तो ग्राफीय विधि आसान है — बिंदु प्लॉट करें और प्रतिच्छेद-बिंदु पढ़ें। यदि हल भिन्न या दशमलव में हो (जैसे 49/29, −1.75) तो ग्राफ से सटीक मान पढ़ना कठिन है — बीजगणितीय विधि (प्रतिस्थापन या विलोपन) उपयोग करें।

प्रश्न: प्रतिस्थापन और विलोपन में कौन-सी विधि कब चुनें?

यदि किसी समीकरण में x या y का गुणांक 1 हो (जैसे x + y = 5) तो प्रतिस्थापन आसान है। यदि दोनों समीकरणों के गुणांक बड़े हों और LCM आसान हो तो विलोपन तेज होती है। उदाहरण: 9x − 4y = 2000 जैसे में विलोपन बेहतर है।

प्रश्न: अभ्यास 3.1 Q6 में उत्तर एकमेव है या अनेक हो सकते हैं?

उत्तर अनेक हो सकते हैं क्योंकि अनंत ऐसे समीकरण लिखे जा सकते हैं जो संबंधित शर्त पूरी करें। बोर्ड परीक्षा में कोई भी एक सही उदाहरण लिखना पर्याप्त है — बस शर्त सत्यापित करनी होगी।

प्रश्न: दो-अंकीय संख्या वाले प्रश्नों में 10x + y क्यों लिखते हैं?

दो-अंकीय संख्या में दहाई का अंक x हो तो उसका मान 10x होता है और इकाई का अंक y का मान y होता है। इसलिए संख्या = 10x + y। अंक उलटने पर: 10y + x। यह विस्तारित रूप (expanded form) है — जैसे 56 = 10(5) + 6।

प्रश्न: शब्द समस्याओं में समीकरण बनाते समय सबसे आम गलती क्या होती है?

सबसे आम गलती है — "माना" वाले चर की परिभाषा स्पष्ट न करना, और इकाइयों (रुपये, किलोमीटर, वर्ष) को नजरअंदाज करना। उत्तर में हमेशा "अतः [चर] = [मान] [इकाई]" के साथ निष्कर्ष लिखें।

इस अध्याय का कोई भी प्रश्न समझ न आए — नीचे Comment में लिखें। NCERT Solutions के अन्य अध्यायों के लिए हमारा मुख्य पेज देखें। अध्याय 2 — बहुपद का हल भी Aapbiti पर उपलब्ध है।