NCERT कक्षा 10 गणित अध्याय 4 — द्विघात समीकरण: गुणनखंड विधि, द्विघाती सूत्र और विविक्तकर सहित सम्पूर्ण हल

NCERT कक्षा 10 गणित का अध्याय 4 — द्विघात समीकरण (Quadratic Equations) बोर्ड परीक्षा में हर वर्ष प्रश्न आने वाला अध्याय है। इसमें तीन मुख्य भाग हैं: द्विघात समीकरण की पहचान, गुणनखंड विधि (Factorisation) से मूल निकालना, और विविक्तकर (Discriminant) b² − 4ac से मूलों की प्रकृति जानना। इस पृष्ठ पर अभ्यास 4.1, 4.2 और 4.3 के सभी प्रश्नों का चरणबद्ध हल हिंदी में दिया गया है।

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इस अध्याय को कैसे पढ़ें? पहले 4.2 (परिभाषा) में द्विघात समीकरण पहचानना सीखें। फिर 4.3 (गुणनखंड विधि) से मूल निकालना सीखें। अंत में 4.4 (विविक्तकर) — D > 0, D = 0, D < 0 का नियम याद करें। शब्द समस्याओं में "माना x" → समीकरण → हल → उत्तर — यह क्रम कभी न भूलें।

4.2 द्विघात समीकरण क्या है और कैसे पहचानें?

x चर में द्विघात समीकरण वह समीकरण है जिसे ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) रूप में लिखा जा सके — जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएं हैं। यही इसका मानक रूप (Standard Form) है।

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पहचान की trick: दोनों पक्षों को सरल करें → सभी पद बाईं ओर लाएं → यदि x² पद आए और a ≠ 0 हो → द्विघात। यदि x² समाप्त हो जाए → द्विघात नहीं। यदि x³ बचे → घन समीकरण, द्विघात नहीं।

अभ्यास 4.1 — सम्पूर्ण हल

प्रश्न 1: जाँच करें कि निम्नलिखित द्विघात समीकरण हैं या नहीं

(i) (x + 1)² = 2(x − 3)

बायाँ पक्ष: x² + 2x + 1

x² + 2x + 1 = 2x − 6 → x² + 2x + 1 − 2x + 6 = 0 → x² + 7 = 0

यह ax² + bx + c = 0 के रूप में है (a=1, b=0, c=7)।

✓ हाँ, द्विघात समीकरण है।

(ii) x² − 2x = (−2)(3 − x)

दायाँ पक्ष: −6 + 2x

x² − 2x = −6 + 2x → x² − 4x + 6 = 0

✓ हाँ, द्विघात समीकरण है।

(iii) (x − 2)(x + 1) = (x − 1)(x + 3)

बायाँ: x² − x − 2    दायाँ: x² + 2x − 3

x² − x − 2 = x² + 2x − 3 → x² समाप्त → −3x + 1 = 0 (रैखिक)

✗ नहीं, द्विघात समीकरण नहीं है।

(iv) (x − 3)(2x + 1) = x(x + 5)

बायाँ: 2x² + x − 6x − 3 = 2x² − 5x − 3    दायाँ: x² + 5x

2x² − 5x − 3 = x² + 5x → x² − 10x − 3 = 0

✓ हाँ, द्विघात समीकरण है।

(v) (2x − 1)(x − 3) = (x + 5)(x − 1)

बायाँ: 2x² − 7x + 3    दायाँ: x² + 4x − 5

2x² − 7x + 3 = x² + 4x − 5 → x² − 11x + 8 = 0

✓ हाँ, द्विघात समीकरण है।

(vi) x² + 3x + 1 = (x − 2)²

दायाँ: x² − 4x + 4

x² + 3x + 1 = x² − 4x + 4 → x² समाप्त → 7x − 3 = 0 (रैखिक)

✗ नहीं, द्विघात समीकरण नहीं है।

(vii) (x + 2)³ = 2x(x² − 1)

बायाँ: x³ + 6x² + 12x + 8    दायाँ: 2x³ − 2x

x³ + 6x² + 12x + 8 = 2x³ − 2x → −x³ + 6x² + 14x + 8 = 0

x³ पद बचा → घन समीकरण (degree 3)

✗ नहीं, द्विघात समीकरण नहीं है।

(viii) x³ − 4x² − x + 1 = (x − 2)³

दायाँ: x³ − 6x² + 12x − 8

x³ − 4x² − x + 1 = x³ − 6x² + 12x − 8

x³ समाप्त: −4x² + 6x² − x − 12x + 1 + 8 = 0 → 2x² − 13x + 9 = 0

✓ हाँ, द्विघात समीकरण है।

प्रश्न 2: निम्नलिखित स्थितियों को द्विघात समीकरण के रूप में व्यक्त करें

(i) आयताकार भूखण्ड का क्षेत्रफल 528 m², लंबाई = 2 × चौड़ाई + 1

माना चौड़ाई = x मीटर → लंबाई = (2x + 1) मीटर

x(2x + 1) = 528 → 2x² + x − 528 = 0

समीकरण: 2x² + x − 528 = 0

(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है

माना पूर्णांक x और x + 1

x(x + 1) = 306 → x² + x − 306 = 0

समीकरण: x² + x − 306 = 0

(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी हैं। 3 वर्ष बाद उनकी आयुओं का गुणनफल 360 होगा।

माना रोहन की वर्तमान आयु = x वर्ष → माँ की आयु = x + 26

(x + 3)(x + 26 + 3) = 360 → (x + 3)(x + 29) = 360

x² + 32x + 87 = 360 → x² + 32x − 273 = 0

(iv) रेलगाड़ी 480 km की दूरी एकसमान गति से तय करती है। गति 8 km/h कम होती तो 3 घंटे अधिक लगते।

माना गति = x km/h

480/(x−8) − 480/x = 3

480x − 480(x−8) = 3x(x−8)

3840 = 3x² − 24x → x² − 8x − 1280 = 0

4.3 गुणनखंड विधि से द्विघात समीकरण कैसे हल करें?

द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 को दो रैखिक गुणनखंडों में बाँटें — प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखें — मूल प्राप्त होंगे।

मध्य पद विभाजन की trick: ax² + bx + c में — दो संख्याएं ढूंढें जिनका गुणनफल = a × c और योग = b हो। उन्हें मध्य पद की जगह रखें → समूह में गुणनखंड करें।

अभ्यास 4.2 — सम्पूर्ण हल

प्रश्न 1: गुणनखंड विधि से निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात करें

(i) x² − 3x − 10 = 0

गुणनफल = 1×(−10) = −10, योग = −3 → पद: −5x और +2x

= x² − 5x + 2x − 10 = x(x−5) + 2(x−5) = (x−5)(x+2) = 0

मूल: x = 5 और x = −2

(ii) 2x² + x − 6 = 0

गुणनफल = 2×(−6) = −12, योग = 1 → पद: +4x और −3x

= 2x² + 4x − 3x − 6 = 2x(x+2) − 3(x+2) = (2x−3)(x+2) = 0

मूल: x = 3/2 और x = −2

(iii) √2 x² + 7x + 5√2 = 0

गुणनफल = √2 × 5√2 = 10, योग = 7 → पद: +2x और +5x

= √2 x² + 2x + 5x + 5√2 = √2 x(x+√2) + 5(x+√2) = (√2 x+5)(x+√2) = 0

√2 x + 5 = 0 → x = −5/√2 = −5√2/2    x + √2 = 0 → x = −√2

मूल: x = −5√2/2 और x = −√2

(iv) 2x² − x + 1/8 = 0

दोनों पक्ष × 8: 16x² − 8x + 1 = 0

= (4x)² − 2×4x×1 + 1² = (4x−1)² = 0

मूल: x = 1/4 और x = 1/4 (समान मूल)

(v) 100x² − 20x + 1 = 0

= (10x)² − 2×10x×1 + 1² = (10x−1)² = 0

मूल: x = 1/10 और x = 1/10 (समान मूल)

प्रश्न 2: Example 1 की समस्याएं हल करें

(i) जॉन और जीवंती — कुल 45 कंचे, 5-5 खोने पर गुणनफल 124

समीकरण (Section 4.2 से): x² − 45x + 324 = 0

गुणनफल = 324, योग = −45 → −36 और −9 (36×9=324, 36+9=45)

= (x−36)(x−9) = 0 → x = 36 या x = 9

यदि जॉन के पास 36 कंचे थे → जीवंती के पास 9; खोने के बाद: 31 और 4 → 31×4 = 124 ✓

यदि जॉन के पास 9 कंचे थे → जीवंती के पास 36; खोने के बाद: 4 और 31 → 4×31 = 124 ✓

जॉन के पास 36 (या 9) और जीवंती के पास 9 (या 36) कंचे थे।

(ii) खिलौना उद्योग — x² − 55x + 750 = 0

गुणनफल = 750, योग = −55 → −25 और −30

= (x−25)(x−30) = 0 → x = 25 या x = 30

उस दिन 25 या 30 खिलौने बने।

प्रश्न 3: दो संख्याओं का योग 27 और गुणनफल 182 है — संख्याएं ज्ञात करें

माना संख्याएं x और 27−x

x(27−x) = 182 → 27x − x² = 182 → x² − 27x + 182 = 0

गुणनफल = 182, योग = −27 → −14 और −13

(x−14)(x−13) = 0 → x = 14 या x = 13

संख्याएं: 13 और 14

प्रश्न 4: दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक जिनके वर्गों का योग 365 है

माना पूर्णांक x और x+1

x² + (x+1)² = 365 → x² + x² + 2x + 1 = 365 → 2x² + 2x − 364 = 0 → x² + x − 182 = 0

गुणनफल = −182, योग = 1 → +14 और −13

(x+14)(x−13) = 0 → x = 13 (धनात्मक) या x = −14 (अस्वीकार)

पूर्णांक: 13 और 14 (सत्यापन: 169 + 196 = 365 ✓)

प्रश्न 5: समकोण त्रिभुज में ऊँचाई = आधार − 7, कर्ण = 13 cm

माना आधार = x cm → ऊँचाई = (x−7) cm

पाइथागोरस प्रमेय से: x² + (x−7)² = 13²

x² + x² − 14x + 49 = 169 → 2x² − 14x − 120 = 0 → x² − 7x − 60 = 0

गुणनफल = −60, योग = −7 → −12 और +5

(x−12)(x+5) = 0 → x = 12 (धनात्मक) या x = −5 (अस्वीकार)

आधार = 12 cm, ऊँचाई = 12−7 = 5 cm

त्रिभुज की भुजाएं: 5 cm और 12 cm (सत्यापन: 25+144=169=13² ✓)

प्रश्न 6: मृदभांड उद्योग — प्रत्येक वस्तु का मूल्य = 2×वस्तुएं + 3, कुल मूल्य = ₹90

माना उत्पादित वस्तुएं = x

प्रत्येक का मूल्य = ₹(2x + 3)

x(2x + 3) = 90 → 2x² + 3x − 90 = 0

D = 9 + 720 = 729 = 27²

x = (−3 ± 27)/4 → x = 24/4 = 6 या x = −30/4 (अस्वीकार)

x = 6, मूल्य = 2(6)+3 = ₹15

वस्तुएं = 6, प्रत्येक का मूल्य = ₹15

4.4 मूलों की प्रकृति — विविक्तकर (Discriminant) D = b² − 4ac

द्विघाती सूत्र: x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a

यहाँ D = b² − 4ac को विविक्तकर (Discriminant) कहते हैं।

अभ्यास 4.3 — सम्पूर्ण हल

प्रश्न 1: मूलों की प्रकृति ज्ञात करें; यदि वास्तविक हों तो मूल भी ज्ञात करें

(i) 2x² − 3x + 5 = 0

a = 2, b = −3, c = 5

D = (−3)² − 4×2×5 = 9 − 40 = −31 < 0

कोई वास्तविक मूल नहीं।

(ii) 3x² − 4√3 x + 4 = 0

a = 3, b = −4√3, c = 4

D = (−4√3)² − 4×3×4 = 48 − 48 = 0

दो बराबर वास्तविक मूल: x = −b/2a = 4√3/(2×3) = 4√3/6 = 2/√3 = 2√3/3

मूल: 2√3/3 और 2√3/3 (दोनों बराबर)

(iii) 2x² − 6x + 3 = 0

a = 2, b = −6, c = 3

D = (−6)² − 4×2×3 = 36 − 24 = 12 > 0

दो भिन्न वास्तविक मूल: x = (6 ± √12) / (2×2) = (6 ± 2√3) / 4 = (3 ± √3) / 2

मूल: x = (3+√3)/2 और x = (3−√3)/2

प्रश्न 2: k का मान ज्ञात करें ताकि समीकरण के दो बराबर मूल हों

(i) 2x² + kx + 3 = 0 के दो बराबर मूल हों

बराबर मूलों के लिए: D = 0

k² − 4×2×3 = 0 → k² − 24 = 0 → k² = 24 → k = ±2√6

k = 2√6 या k = −2√6

(ii) kx(x − 2) + 6 = 0 के दो बराबर मूल हों

kx² − 2kx + 6 = 0 (मानक रूप)

a = k, b = −2k, c = 6

D = 0: (−2k)² − 4×k×6 = 0 → 4k² − 24k = 0 → 4k(k−6) = 0

k = 0 या k = 6

k = 0 पर a = 0 → द्विघात नहीं → अमान्य

k = 6

प्रश्न 3: क्या आयताकार आम्र-बाग की लंबाई दोगुनी चौड़ाई हो और क्षेत्रफल 800 m² हो, संभव है?

माना चौड़ाई = x मीटर → लंबाई = 2x मीटर

क्षेत्रफल: 2x × x = 800 → 2x² = 800 → x² − 400 = 0

D = 0 − 4×1×(−400) = 1600 > 0 → दो वास्तविक मूल संभव

x = √400 = 20 (धनात्मक) या x = −20 (अस्वीकार)

हाँ, संभव है। चौड़ाई = 20 मीटर, लंबाई = 40 मीटर।

प्रश्न 4: क्या निम्नलिखित स्थिति संभव है? दो मित्रों की आयुओं का योग 20 वर्ष। 4 वर्ष पहले उनकी आयुओं का गुणनफल 48।

माना आयु x और 20−x

4 वर्ष पहले: (x−4) और (20−x−4) = (x−4)(16−x)

(x−4)(16−x) = 48

16x − x² − 64 + 4x = 48 → −x² + 20x − 64 = 48 → −x² + 20x − 112 = 0

x² − 20x + 112 = 0

D = (−20)² − 4×1×112 = 400 − 448 = −48 < 0

नहीं, यह स्थिति संभव नहीं है। (कोई वास्तविक मूल नहीं)

प्रश्न 5: क्या 80 मीटर परिमाप और 400 m² क्षेत्रफल वाला आयताकार पार्क बनाना संभव है?

माना लंबाई = l, चौड़ाई = b

l + b = 40 (अर्ध-परिमाप) → l = 40 − b

l × b = 400 → (40−b)b = 400 → 40b − b² = 400 → b² − 40b + 400 = 0

D = (−40)² − 4×1×400 = 1600 − 1600 = 0

b = 40/2 = 20 मीटर → l = 40 − 20 = 20 मीटर

हाँ, संभव है। l = b = 20 मीटर (वर्गाकार पार्क)।

Aapbiti News Experts ki Salah

• अभ्यास 4.1 में समीकरण को सरल जरूर करें — पहले देखने में जो लगे वह जरूरी नहीं सही हो (जैसे Q1(iii) और Q1(vi) में x² समाप्त हो जाता है)।
• गुणनखंड विधि में मध्य पद विभाजन ही परीक्षा में सबसे तेज तरीका है — गुणनफल और योग याद रखें।
• अभ्यास 4.3 में हमेशा पहले D निकालें, फिर प्रकृति लिखें, फिर मूल निकालें — यह क्रम परीक्षा में अंक दिलाता है।
• Q2 (Ex 4.3) में बराबर मूलों के लिए D = 0 रखना है — यह सबसे common board question है।
• शब्द समस्याओं (Q3, Q4, Q5 Ex 4.2) में ऋणात्मक मूल को "context" देखकर अस्वीकार करें — दूरी, आयु, लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती।
• Ex 4.3 Q3, Q4, Q5 में "संभव है / नहीं है" का निर्णय D के चिन्ह से होता है — D ≥ 0 → संभव; D < 0 → असंभव।

अध्याय 4 सारांश — त्वरित दोहराई

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQs)

प्रश्न: द्विघात समीकरण की मूल (root) और शून्यक (zero) में क्या अंतर है?

कोई नहीं — दोनों एक ही हैं। जब ax² + bx + c को बहुपद मानकर उसका मान शून्य करें तो x का मान "शून्यक" कहलाता है। जब ax² + bx + c = 0 को समीकरण मानें तो उसका हल "मूल" कहलाता है। NCERT में यह स्पष्ट लिखा है — "बहुपद के शून्यक और समीकरण के मूल एक ही हैं।"

प्रश्न: गुणनखंड विधि तब काम नहीं करती जब मूल अपरिमेय हों — क्या करें?

तब द्विघाती सूत्र (Quadratic Formula) उपयोग करें: x = (−b ± √D) / 2a जहाँ D = b²−4ac। यह सूत्र हर स्थिति में काम करता है — जब D ≥ 0 हो। यदि D < 0 हो तो कोई वास्तविक मूल नहीं।

प्रश्न: "दो बराबर मूल" का मतलब एक ही मूल है क्या?

तकनीकी रूप से दो मूल होते हैं पर दोनों का मान बराबर (−b/2a) होता है। इन्हें "संपाती मूल" (Coincident Roots) भी कहते हैं। जैसे (x−3)² = 0 में x = 3, 3 — दो मूल हैं पर दोनों 3 हैं।

प्रश्न: Brahmagupta, Sridharacharya और Al-Khwarizmi का योगदान क्या था?

ब्रह्मगुप्त (C.E. 598-665) ने ax² + bx = c रूप के समीकरण का स्पष्ट सूत्र दिया। श्रीधराचार्य (C.E. 1025) ने पूर्ण वर्ग विधि (Completing the Square) से द्विघाती सूत्र निकाला — जिसे आज भी "श्रीधराचार्य सूत्र" कहते हैं। अल-ख्वारिज्मी (C.E. 800) ने विभिन्न प्रकार के द्विघात समीकरणों का अध्ययन किया।

प्रश्न: शब्द समस्याओं में ऋणात्मक मूल कब अस्वीकार करते हैं?

जब चर की वास्तविक प्रासंगिक (contextual) व्याख्या ऋणात्मक न हो सके — जैसे: लंबाई/चौड़ाई, दूरी, आयु, संख्या, गति — ये सभी ऋणात्मक नहीं हो सकतीं। लेकिन यदि x एक पूर्णांक (integer) हो जो ऋणात्मक भी हो सकता है, तो दोनों मूल मान्य हो सकते हैं।

प्रश्न: क्या हर द्विघात समीकरण के दो मूल होते हैं?

हर द्विघात समीकरण में अधिकतम दो वास्तविक मूल हो सकते हैं। D > 0 → 2 अलग; D = 0 → 1 (दोहरा); D < 0 → 0 वास्तविक मूल (काल्पनिक मूल होते हैं जो कक्षा 10 में नहीं पढ़ाए जाते)।

इस अध्याय का कोई भी प्रश्न या Step समझ न आए — नीचे Comment में लिखें। NCERT Solutions के अन्य अध्यायों के लिए हमारा मुख्य पेज देखें। अध्याय 3 — रैखिक समीकरण युग्म का हल भी Aapbiti पर उपलब्ध है।